Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 89 стр.

§ 5.   Вычеты                                                                        91

Однако при достаточно больших ρ и некоторой константе M будет
выполнятся на γρ неравенство |R(z)| ≤ M/ρ2 . Следовательно, для
этих ρ имеем
       ¯              ¯
       ¯              ¯
       ¯Z             ¯       Z
       ¯              ¯                              πM
       ¯
       ¯     R(z) dz ¯¯   ≤        |R(z)| · |dz| ≤      →0            при   ρ → ∞.
       ¯
       ¯γ+
                      ¯
                      ¯                               ρ
         ρ                    γ+
                               ρ


Таким образом,
                              Z∞                      X
                                   R(x) dx = 2πi              Res
                                                              z=a
                                                                  R(z).
                          −∞                         Im a>0

Например,
                    Z∞      dx               1           1
                                 = 2πi Res         = 2πi    = π.
                   −∞
                          1 + x2       z=i 1 + z 2       2i