Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 96 стр.

98                                             Глава V .   Основные принципы

§ 3.   Принцип компактности

    В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об условиях на семей-
ство голоморфных в области D функций, которые позволяли бы из
любой её последовательности выделять сходящуюся локально равно-
мерно в D подпоследовательность.

Определение. Семейство F ⊂ H(D) называется локально равно-
мерно ограниченным в D, если для всякой z0 ∈ D найдутся окрест-
ность Or (z0 ) ⊂ D и число M > 0, такие, что |f (z)| ≤ M при всех
z ∈ Or (z0 ) и f ∈ F.

Другими словами, для каждого компактного множества K ⊂ D се-
мейство F является равномерно ограниченным на K.

Теорема 1. Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное
в D семейство. Тогда F 0 = {f 0 : f ∈ F} также является локально
равномерно ограниченным в D семейством.

Доказательство. Пусть z0 — произвольная точка области D. По
условию найдутся r > 0 и M > 0, такие, что Or (z0 ) ⊂ D и |f (z)| ≤ M
для любых z ∈ Or (z0 ) и f ∈ F . Пусть γ = ∂Or (z0 ). Тогда, используя
интегральную формулу Коши для производных, получаем для любого
z ∈ Or/2 (z0 ) и любой f ∈ F :
                          ¯              ¯
                          ¯Z             ¯
             0        1   ¯
                          ¯    f (ς) dς ¯¯      1 Z M            4M
           |f (z)| =      ¯
                          ¯
                                         ¯   ≤            |dς| =    .
                     2π   ¯γ   (ς − z)2 ¯¯     2π γ r2 /4         r

                                                                        2

Теорема 2. Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное
в D семейство. Тогда на любом компакте K ⊂ D это семейство
является равностепенно непрерывным.

Доказательство. Пусть K — компактное подмножество в области
D. Выберем r > 0 меньшим расстояния от K до ∂D. Тогда множество

                      K1 = {z : dist(z, K) ≤ r}