Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Теорема Римана об отображении 101
Теорема 1. Пусть D — односвязная область, отличная от всей
плоскости, и z
0
∈ D. Тогда существует единственная аналитичес-
кая в D функция f, которая отображает взаимно однозначно об-
ласть D на единичный круг D и удовлетворяет условиям f(z
0
) = 0,
f
0
(z
0
) > 0.
Доказательство. Докажем вначале единственность. Допустим, мы
имеем две функции f
1
и f
2
, удовлетворяющие условиям из формули-
ровки теоремы. Тогда функция ϕ = f
2
◦ f
−1
1
будет конформно ото-
бражать единичный круг D на себя и ϕ(0) = 0, ϕ
0
(0) > 0. В силу
леммы Шварца |ϕ(w)| ≤ |w|. С другой стороны, обратная функция
ϕ
−1
(ζ) также удовлетворяет условиям леммы Шварца и |ϕ
−1
(ζ)| ≤ |ζ|.
Подставляя в последнее неравенство вместо ζ выражение ζ = ϕ(w),
получаем |w| ≤ |ϕ(w)|. Таким образом, |ϕ(w)| ≡ |w| и ϕ(w) = e
iα
w.
Из условия ϕ
0
(0) > 0 следует ϕ(w) ≡ w и f
1
(z) ≡ f
2
(z).
Для доказательства существования отображающей функции f
введем в рассмотрение класс F однолистных в D функций g, удов-
летворяющих условиям: g(z
0
) = 0, g
0
(z
0
) > 0 и |g(z)| ≤ 1 при z ∈ D.
Покажем вначале непустоту введенного класса функций. По усло-
вию D 6= C и найдется точка a 6∈ D. Поскольку D — односвязная
область, то в ней выделяются однозначные ветви функций ln(z −a) и
Q(z) =
√
z −a = e
1
2
ln(z−a)
(см. последний параграф главы III). Заметим, что для любой пары
точек z
1
, z
2
из D любое из равенств
Q(z
1
) = ±Q(z
2
)
влечет равенство z
1
= z
2
. Это означает, что Q однолистна в D и
Q(D) не содержит пары точек, симметричных относительно начала
координат. Поскольку Q(z
0
) = w
0
принадлежит Q(D) вместе с неко-
торой окрестностью O
r
(w
0
), то O
r
(−w
0
) ∩ Q(D) = ∅. Следовательно,
|Q(z) + w
0
| > r для всех z ∈ D и функция
h(z) =
r
w
0
+ Q(z)
§ 4.   Теорема Римана об отображении                               101

Теорема 1. Пусть D — односвязная область, отличная от всей
плоскости, и z0 ∈ D. Тогда существует единственная аналитичес-
кая в D функция f , которая отображает взаимно однозначно об-
ласть D на единичный круг D и удовлетворяет условиям f (z0 ) = 0,
f 0 (z0 ) > 0.

Доказательство. Докажем вначале единственность. Допустим, мы
имеем две функции f1 и f2 , удовлетворяющие условиям из формули-
ровки теоремы. Тогда функция ϕ = f2 ◦ f1−1 будет конформно ото-
бражать единичный круг D на себя и ϕ(0) = 0, ϕ0 (0) > 0. В силу
леммы Шварца |ϕ(w)| ≤ |w|. С другой стороны, обратная функция
ϕ−1 (ζ) также удовлетворяет условиям леммы Шварца и |ϕ−1 (ζ)| ≤ |ζ|.
Подставляя в последнее неравенство вместо ζ выражение ζ = ϕ(w),
получаем |w| ≤ |ϕ(w)|. Таким образом, |ϕ(w)| ≡ |w| и ϕ(w) = eiα w.
Из условия ϕ0 (0) > 0 следует ϕ(w) ≡ w и f1 (z) ≡ f2 (z).
     Для доказательства существования отображающей функции f
введем в рассмотрение класс F однолистных в D функций g, удов-
летворяющих условиям: g(z0 ) = 0, g 0 (z0 ) > 0 и |g(z)| ≤ 1 при z ∈ D.
     Покажем вначале непустоту введенного класса функций. По усло-
вию D 6= C и найдется точка a 6∈ D. Поскольку D — односвязная
область, то в ней выделяются однозначные ветви функций ln(z − a) и
                               √              1
                      Q(z) =       z − a = e 2 ln(z−a)

(см. последний параграф главы III). Заметим, что для любой пары
точек z1 , z2 из D любое из равенств

                           Q(z1 ) = ±Q(z2 )

влечет равенство z1 = z2 . Это означает, что Q однолистна в D и
Q(D) не содержит пары точек, симметричных относительно начала
координат. Поскольку Q(z0 ) = w0 принадлежит Q(D) вместе с неко-
торой окрестностью Or (w0 ), то Or (−w0 ) ∩ Q(D) = ∅. Следовательно,
|Q(z) + w0 | > r для всех z ∈ D и функция
                                         r
                          h(z) =
                                     w0 + Q(z)

Страницы