Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

104 Глава V . Основные принципы
Односвязность области D гарантировала нам однозначность такого
продолжения.
Опишем кратко понятийный аппарат, связанный с представле-
нием об аналитической функции как о совокупности ее продолжений.
Аналитическая функция fв области Dобразует функциональ-
ный элемент и обозначается (f, D). Два функциональных элемента
(f
1
, D
1
) и (f
2
, D
2
) называются прямыми аналитическими продолже-
ниями друг друга, если D
1
∩ D
2
6= ∅ и f
1
(z) = f
2
(z) при z ∈ D
1
∩ D
2
.
Более конкретно говорят, что (f
2
, D
2
) является аналитическим про-
должением (f
1
, D
1
) в область D
2
. Такое продолжение может и не су-
ществовать, но если оно существует, то оно единственно.
Если (f
1
, D
1
) и (f
2
, D
2
) являются прямыми аналитическими про-
должениями друг друга , то можно было бы рассмотреть функцио -
нальный элемент (f, D), где D = D
1
∪D
2
, а f совпадает с f
1
иf
2
вD
1
иD
2
соответственно. Таким образом, рассмотрение только пар функцио-
нальных элементов нового содержания не дает .
Более общим понятием является цепь функциональных эле-
ментов (f
1
, D
1
), (f
2
, D
2
), . . . ,(f
n
, D
n
), в которой (f
k
, D
k
) является
прямым аналитическим продолжением функционального элемента
(f
k−1
, D
k−1
). Элементы в такой цепи называются аналитическими
продолжениями друг друга.
Пример функции
√
z и областей
D
1
= {z : Im z > 0}, D
2
= {z : Re z > 0},
D
3
= {z : Im z < 0}, D
4
= {z : Re z < 0}
показывает, что в результате аналитического продолжения мы можем
вернуться в некоторую область, но с другой функцией.
Отметим также, что, как и в случае прямого аналитического про-
должения, продолжение посредством цепи с фиксированным набором
областей определяется однозначно.
Определение. Глобальной аналитической функцией является не-
пустое семейство f функциональных элементов ( f, D), в котором
каждая пара элементов представляет собой аналитическое про-
должение друг друга посредством цепи с элементами из f.
104                                       Глава V .    Основные принципы

Односвязность области D гарантировала нам однозначность такого
продолжения.
      Опишем кратко понятийный аппарат, связанный с представле-
нием об аналитической функции как о совокупности ее продолжений.
      Аналитическая функция f в области Dобразует функциональ-
ный элемент и обозначается (f, D). Два функциональных элемента
(f1 , D1 ) и (f2 , D2 ) называются прямыми аналитическими продолже-
ниями друг друга, если D1 ∩ D2 6= ∅ и f1 (z) = f2 (z) при z ∈ D1 ∩ D2 .
Более конкретно говорят, что (f2 , D2 ) является аналитическим про-
должением (f1 , D1 ) в область D2 . Такое продолжение может и не су-
ществовать, но если оно существует, то оно единственно.
      Если (f1 , D1 ) и (f2 , D2 ) являются прямыми аналитическими про-
должениями друг друга, то можно было бы рассмотреть функцио-
нальный элемент (f, D), где D = D1 ∪D2 , а f совпадает с f1 иf2 вD1 иD2
соответственно. Таким образом, рассмотрение только пар функцио-
нальных элементов нового содержания не дает.
      Более общим понятием является цепь функциональных эле-
ментов (f1 , D1 ), (f2 , D2 ), . . . ,(fn , Dn ), в которой (fk , Dk ) является
прямым аналитическим продолжением функционального элемента
(fk−1 , Dk−1 ). Элементы в такой цепи называются аналитическими
продолжениями друг друга.
                            √
      Пример функции z и областей

                D1 = {z : Im z > 0}, D2 = {z : Re z > 0},

                 D3 = {z : Im z < 0}, D4 = {z : Re z < 0}
показывает, что в результате аналитического продолжения мы можем
вернуться в некоторую область, но с другой функцией.
    Отметим также, что, как и в случае прямого аналитического про-
должения, продолжение посредством цепи с фиксированным набором
областей определяется однозначно.

Определение. Глобальной аналитической функцией является не-
пустое семейство f функциональных элементов (f, D), в котором
каждая пара элементов представляет собой аналитическое про-
должение друг друга посредством цепи с элементами из f.

Страницы