Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

106 Глава V . Основные принципы
ток границы. Приводимый ниже результат известен как принцип сим-
метрии Римана– Шварца.
Теорема 1. Пусть D — область, симметричная относительно ве-
щественной оси, D
+
— ее часть, расположенная в верхней полу-
плоскости, и σ — часть вещественной оси, расположенная в D.
Допустим, что f является непрерывной в D
+
∪ σ, голоморфной в
D
+
и принимает вещественные значения на σ. Тогда она имеет
аналитическое продолжение во всю область D, где удовлетворяет
соотношению симметрии :
f(z) = f(z). (1)
Доказательство. Определим в области D функцию F , полагая
F (z) = f(z) при z ∈ D
+
∪ σ и F (z) = f(z) при z ∈ D
−
= D ∩ {z :
Im z < 0}. Если мы покажем, что F аналитична в D, то (F, D) будет
прямым аналитическим продолжением (f, D
+
).
Из определения F и вещественности f на σ следует, что F не-
прерывна в D . Легко также показать аналитичность F в D
−
. Дейст-
вительно, если z
0
∈ D
−
, то z
0
∈ D
+
и
lim
z→z
0
F (z) − F (z
0
)
z − z
0
= lim
z→z
0
f(z) − f(z
0
)
z − z
0
= lim
z→z
0
f(z) − f(z
0
)
z − z
0
= f
0
(z
0
).
Пусть x
0
∈ σ. Тогда найдется r > 0, такое, что O
r
(x
0
) ⊂ D. Обозна-
чим γ = ∂O
r
(x
0
) и определим
ϕ(z) =
1
2πi
Z
γ
F (ζ) dζ
ζ − z
.
Как интеграл Коши с непрерывной плотностью F (ζ) функция ϕ(z)
является аналитической в O
r
(x
0
). Если γ
±
= γ ∩ D
±
, то
ϕ(z) =
1
2πi
Z
γ
+
F (ζ) dζ
ζ − z
+
1
2πi
Z
[x
0
−r,x
0
+r]
F (ζ) dζ
ζ − z
+
1
2πi
Z
[x
0
+r,x
0
−r]
F (ζ) dζ
ζ − z
+
+
1
2πi
Z
γ
−
F (ζ) dζ
ζ − z
=
1
2πi
Z
Γ
+
F (ζ) dζ
ζ − z
+
1
2πi
Z
Γ
−
F (ζ) dζ
ζ − z
= ϕ
+
(z) + ϕ
−
(z) ,
106                                              Глава V .     Основные принципы

ток границы. Приводимый ниже результат известен как принцип сим-
метрии Римана–Шварца.

Теорема 1. Пусть D — область, симметричная относительно ве-
щественной оси, D+ — ее часть, расположенная в верхней полу-
плоскости, и σ — часть вещественной оси, расположенная в D.
Допустим, что f является непрерывной в D+ ∪ σ, голоморфной в
D+ и принимает вещественные значения на σ. Тогда она имеет
аналитическое продолжение во всю область D, где удовлетворяет
соотношению симметрии:

                                   f (z) = f (z).                                           (1)

Доказательство. Определим в области D функцию F , полагая
F (z) = f (z) при z ∈ D+ ∪ σ и F (z) = f (z) при z ∈ D− = D ∩ {z :
Im z < 0}. Если мы покажем, что F аналитична в D, то (F, D) будет
прямым аналитическим продолжением (f, D+ ).
     Из определения F и вещественности f на σ следует, что F не-
прерывна в D. Легко также показать аналитичность F в D− . Дейст-
вительно, если z0 ∈ D− , то z0 ∈ D+ и
                                                                                
      F (z) − F (z0 )        f (z) − f (z0 )          f (z) − f (z0 ) 
 lim
 z→z0
                      = lim
                        z→z
                                             = lim
                                               z→z
                                                                       = f 0 (z0 ).
          z − z0           0     z − z0           0       z − z0

Пусть x0 ∈ σ. Тогда найдется r > 0, такое, что Or (x0 ) ⊂ D. Обозна-
чим γ = ∂Or (x0 ) и определим

                                    1 Z F (ζ) dζ
                            ϕ(z) =               .
                                   2πi γ ζ − z

Как интеграл Коши с непрерывной плотностью F (ζ) функция ϕ(z)
является аналитической в Or (x0 ). Если γ ± = γ ∩ D± , то

         1 Z F (ζ) dζ    1             Z          F (ζ) dζ    1          Z          F (ζ) dζ
 ϕ(z) =               +                                    +                                 +
        2πi γ + ζ − z   2πi [x                     ζ −z      2πi [x                  ζ −  z
                                    0 −r,x0   +r]                     0 +r,x0   −r]

    1 Z F (ζ) dζ    1 Z F (ζ) dζ    1 Z F (ζ) dζ
 +               =               +               = ϕ+ (z) + ϕ− (z) ,
   2πi γ − ζ − z   2πi Γ+ ζ − z    2πi Γ− ζ − z

Страницы