Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 106 стр.

Глава VI

Гармонические функции

§ 1.   Основные свойства гармонических функций

    Как уже ранее отмечалось, под гармонической в области D
функцией понимается дважды непрерывно дифференцируемая функ-
ция
                    u(z) = u(x, y), z = x + iy,

удовлетворяющая уравнению Лапласа

                           ∂2 u ∂2 u
                      ∆u =     +      =0
                           ∂ x2 ∂ y 2

    Непосредственно из линейности оператора Лапласа ∆ следует,
что совокупность h(D) всех гармонических в области D функций об-
разует линейное пространство.
    Уместно провести аналогию с линейными функциями одного пе-
ременного, поскольку в этом случае уравнение Лапласа приводит нас
именно к ним. Отметим, что для линейных функций выполняются
теоремы о среднем и принцип максимума.
    Если f (z) = u(z) + iv(z) — аналитическая в области D функ-
ция, то в силу уравнений Коши–Римана функции u и v являются
гармоническими в D.


Теорема 1. Пусть D — односвязная область и u ∈ h(D).Тогда най-
дется такая функция f ∈ H(D), что u(z) = Re f (z).
                               108