Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

110 Глава VI . Гармонические функции
b) Если g(z) ≡ const, то доказывать нечего. Поэтому допустим,
что g(z) 6≡ const. Фиксируем произвольно z
0
∈ D. Пусть O
r
(z
0
) ⊂D.
В силу принципа открытости g(O
r
(z
0
)) содержит некоторую окрест-
ность точки w
0
= g(z
0
). Допустим, O
ρ
(w
0
) ⊂ g(O
r
(z
0
)). По теореме 1,
найдется функция f ∈ H(O
ρ
(w
0
)), такая, что u(w) = Re f(w) при
w ∈ O
ρ
(w
0
). Сужая окрестность O
r
(z
0
) до O
r
0
(z
0
) так, чтобы выпол-
нялось включение g(O
r
0
(z
0
)) ⊂ O
ρ
(w
0
), мы получим v(z) = Re f ◦g(z)
в O
r
0
(z
0
). Таким образом, v гармонична в окрестности точки z
0
как
вещественная часть аналитической функции.
c) Допустим, что u(z
0
) является наибольшим (или наимень-
шим) значением функции u в окрестности O
r
(z
0
) ⊂ D. По теореме
1, найдется функция f ∈ H(O
r
(z
0
)), для которой u(z) = Re f(z) в
O
r
(z
0
). Но тогда по принципу экстремума для вещественной час-
ти аналитической функции будем иметь f(z) ≡ const, что влечет
u(z) ≡ const в O
r
(z
0
). Чтобы распространить это на всю область D,
снова рассмотрим функцию
g(z) =
∂ u
∂ x
− i
∂ u
∂ y
,
которая определена и аналитична во всей области D. Однако в O
r
(z
0
)
мы имеем g(z) = f
0
(z) = 0. По теореме единственности для анали-
тических функций g(z) ≡ 0 в D, что влечет u(z) ≡ const в области
D.
2
Принцип экстремума сразу же влечет два варианта теоремы
единственности для гармонических функций.
Теорема 2 (Единственности). Пусть u ∈ h(D) и выполнено одно
из следующих условий:
(i) u(z) = 0 в некоторой окрестности O
r
(z
0
) ⊂ D;
(ii) u непрерывно продолжается в замыкание D ограниченной облас-
ти D и u(z) = 0 на ∂ D.
Тогда u(z) ≡ 0 в D.
110                                Глава VI .   Гармонические функции

     b) Если g(z) ≡ const, то доказывать нечего. Поэтому допустим,
что g(z) 6≡ const. Фиксируем произвольно z0 ∈ D. Пусть Or (z0 ) ⊂ D.
В силу принципа открытости g(Or (z0 )) содержит некоторую окрест-
ность точки w0 = g(z0 ). Допустим, Oρ (w0 ) ⊂ g(Or (z0 )). По теореме 1,
найдется функция f ∈ H (Oρ (w0 )), такая, что u(w) = Re f (w) при
w ∈ Oρ (w0 ). Сужая окрестность Or (z0 ) до Or0 (z0 ) так, чтобы выпол-
нялось включение g(Or0 (z0 )) ⊂ Oρ (w0 ), мы получим v(z) = Re f ◦ g(z)
в Or0 (z0 ). Таким образом, v гармонична в окрестности точки z0 как
вещественная часть аналитической функции.
     c) Допустим, что u(z0 ) является наибольшим (или наимень-
шим) значением функции u в окрестности Or (z0 ) ⊂ D. По теореме
1, найдется функция f ∈ H(Or (z0 )), для которой u(z) = Re f (z) в
Or (z0 ). Но тогда по принципу экстремума для вещественной час-
ти аналитической функции будем иметь f (z) ≡ const, что влечет
u(z) ≡ const в Or (z0 ). Чтобы распространить это на всю область D,
снова рассмотрим функцию

                                   ∂u   ∂u
                          g(z) =      −i ,
                                   ∂x   ∂y

которая определена и аналитична во всей области D. Однако в Or (z0 )
мы имеем g(z) = f 0 (z) = 0. По теореме единственности для анали-
тических функций g(z) ≡ 0 в D, что влечет u(z) ≡ const в области
D.
                                                        2
    Принцип экстремума сразу же влечет два варианта теоремы
единственности для гармонических функций.

Теорема 2 (Единственности). Пусть u ∈ h(D) и выполнено одно
из следующих условий:

(i) u(z) = 0 в некоторой окрестности Or (z0 ) ⊂ D;

(ii) u непрерывно продолжается в замыкание D ограниченной облас-
     ти D и u(z) = 0 на ∂ D.

Тогда u(z) ≡ 0 в D.

Страницы