Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

112 Глава VI . Гармонические функции
Решая уравнение
λ
00
(r) +
1
r
λ
0
(r) = 0,
приходим к требуемому утверждению.
2
§2. Интегральные формулы Пуассона и Шварца
Теорема 1. Пусть u ∈ h(D) и непрерывно продолжается в D. Тогда
для любого a ∈ D выполняется равенство:
u(a) =
1
2π
2π
Z
0
1 − |a|
2
|e
iθ
− a|
2
u(e
iθ
) dθ =
1
2π
Z
T
u(æ)
1 − |a|
2
|æ − a|
2
|dæ|. (1)
Доказательство. В случае a = 0 равенство (1) выражает теорему о
среднем. В случае a 6= 0 рассмотрим дробно–линейное отображение
`(z) = (z −a)/(1 − az)
и определим функцию v = u◦`
−1
. В силу конформной инвариантности
свойства гармоничности v ∈ h(D) и также непрерывно продолжается
в D. По теореме о среднем
u(a) = v(0) =
1
2π
Z
T
u(`
−1
(ζ)) |dζ|.
Выполним в этом интеграле замену переменной:
`
−1
(ζ) = æ , ζ = `(æ), dζ = `
0
(æ) dæ,
и
u(a) =
1
2π
Z
T
u(æ)|`
0
(æ)||dæ| =
1
2π
Z
T
u(æ)
1 − |a|
2
|1 − aæ|
2
|dæ|.
Поскольку при u ∈ T имеет место равенство
|1 − aæ| = |1 − aæ| = |æ − a|,
то мы приходим к равенству (1).
2
112                                     Глава VI .    Гармонические функции

Решая уравнение
                                1
                       λ00 (r) + λ0 (r) = 0,
                                r
приходим к требуемому утверждению.
                                                                     2


§ 2.   Интегральные формулы Пуассона и Шварца

Теорема 1. Пусть u ∈ h(D) и непрерывно продолжается в D. Тогда
для любого a ∈ D выполняется равенство:

                1   Z2π    1 − |a|2              1 Z      1 − |a|2
                                        iθ
        u(a) =                       u(e ) dθ =      u(æ)          | dæ|.   (1)
               2π   0
                          |eiθ − a|2            2π T      |æ − a|2

Доказательство. В случае a = 0 равенство (1) выражает теорему о
среднем. В случае a 6= 0 рассмотрим дробно–линейное отображение

                             `(z) = (z − a)/(1 − az)

и определим функцию v = u◦`−1 . В силу конформной инвариантности
свойства гармоничности v ∈ h(D) и также непрерывно продолжается
в D. По теореме о среднем
                                         1 Z
                     u(a) = v(0) =           u(`−1 (ζ)) |dζ|.
                                        2π T

Выполним в этом интеграле замену переменной:

               `−1 (ζ) = æ,        ζ = `(æ),    dζ = `0 (æ) dæ,

и
                1 Z       0            1 Z       1 − |a|2
        u(a) =      u(æ)|` (æ)||dæ| =      u(æ)           |dæ|.
               2π T                   2π T      |1 − aæ|2
Поскольку при u ∈ T имеет место равенство

                          |1 − aæ| = |1 − aæ| = |æ − a|,

то мы приходим к равенству (1).
                                                                     2

Страницы