Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

114 Глава VI . Гармонические функции
§3. Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле
Пусть ϕ — интегрируемая на T вещественнозначная функция.
Тогда для z ∈ D определен интеграл
P (z; ϕ) =
1
2π
Z
T
1 − |z|
2
|æ − z|
2
ϕ(æ) |dæ| =
1
2π
2π
Z
0
1 − |z|
2
|e
iθ
− z|
2
ϕ(e
iθ
) dθ,
который называется интегралом Пуассона с плотностью ϕ. Опреде-
лим также интеграл Шварца
S(z; ϕ) =
1
2π
Z
T
æ + z
æ − z
ϕ(æ) |dæ|.
Легко видеть, что между интегралами Пуассона и Шварца с одной и
той же плотностью ϕ имеет место соотношение
Re S(z; ϕ) = P (z; ϕ).
Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L
1
(T) — вещественнозначная функция. Тог-
да S(z; ϕ) является аналитической в D функцией. Кроме того, если
ϕ обращается в нуль на некоторой открытой дуге γ ∈ T, то S(z; ϕ)
аналитически продолжается через γ во внешность единичного кру-
га и принимает на γ чисто мнимое значение.
Доказательство. Пусть z
0
— произвольная точка круга D. Выберем
δ > 0 меньше половины расстояния от z
0
до T = ∂ D. Тогда
S(z; ϕ) − S(z
0
; ϕ)
z − z
0
=
1
2π
Z
T
2 æ ϕ(æ)
(æ − z)(æ − z
0
)
|dæ|
и в силу неравенства
¯
¯
¯
¯
¯
¯
æ ϕ(æ)
(æ − z)(æ − z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
1
δ
2
|ϕ(æ)|
под знаком интеграла можно совершить предельный переход при z →
z
0
. Это означает комплексную дифференцируемость функции S(z; ϕ)
в D. Пусть теперь ϕ(æ) = 0 на открытой дуге γ ⊂ T. Для любого
114                                  Глава VI .       Гармонические функции

§ 3.   Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле

    Пусть ϕ — интегрируемая на T вещественнозначная функция.
Тогда для z ∈ D определен интеграл

                   1 Z 1 − |z|2              1    Z2π    1 − |z|2
       P (z; ϕ) =               ϕ(æ) |dæ| =                        ϕ(eiθ ) dθ,
                  2π T |æ − z|2             2π    0
                                                          iθ
                                                        |e − z|  2


который называется интегралом Пуассона с плотностью ϕ. Опреде-
лим также интеграл Шварца
                                   1 Z æ+z
                     S(z; ϕ) =               ϕ(æ) |dæ|.
                                  2π T æ − z

Легко видеть, что между интегралами Пуассона и Шварца с одной и
той же плотностью ϕ имеет место соотношение

                             Re S(z; ϕ) = P (z; ϕ).

Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L1 (T) — вещественнозначная функция. Тог-
да S(z; ϕ) является аналитической в D функцией. Кроме того, если
ϕ обращается в нуль на некоторой открытой дуге γ ∈ T, то S(z; ϕ)
аналитически продолжается через γ во внешность единичного кру-
га и принимает на γ чисто мнимое значение.

Доказательство. Пусть z0 — произвольная точка круга D. Выберем
δ > 0 меньше половины расстояния от z0 до T = ∂ D. Тогда

             S(z; ϕ) − S(z0 ; ϕ)    1 Z    2 æ ϕ(æ)
                                 =                       |dæ|
                   z − z0          2π T (æ − z)(æ − z0 )

и в силу неравенства
                      ¯                   ¯
                      ¯                    ¯
                      ¯       æ ϕ(æ)       ¯
                                           ¯ ≤
                                               1
                      ¯
                      ¯                    ¯     |ϕ(æ)|
                      ¯ (æ   − z)(æ − z0 ) ¯ δ 2

под знаком интеграла можно совершить предельный переход при z →
z0 . Это означает комплексную дифференцируемость функции S(z; ϕ)
в D. Пусть теперь ϕ(æ) = 0 на открытой дуге γ ⊂ T. Для любого

Страницы