ВУЗ:
Составители:
120 Глава VI . Гармонические функции
(ii) последовательность {u
n
} сходится локально равномерно в D
при n → ∞ к некоторой гармонической в D функции u.
Доказательство. Пусть z
0
— произвольная точка области D. В си-
лу открытости D найдется такое r > 0, что O
r
(z
0
) ⊂ D. Поскольку
при любых натуральных n и p функция u
n+p
−u
n
является неотрица-
тельной, то в силу (1)
r−|z−z
0
|
r+|z−z
0
|
(u
n+p
(z
0
) −u
n
(z
0
)) ≤ u
n+p
(z) − u
n
(z) ≤
r+|z−z
0
|
r−|z−z
0
|
(u
n+p
(z
0
) −u
n
(z
0
))
при всех z ∈ O
r
(z
0
). В круге же O
r/2
(z
0
) будет выполняться неравен-
ство
1
3
(u
n+p
(z
0
) − u
n
(z
0
)) ≤ u
n+p
(z) − u
n
(z) ≤ 3(u
n+p
(z
0
) − u
n
(z
0
)). (2)
Левая часть неравенства (2) показывает, что если u
n
(z
0
) → ∞ при
n → ∞, то u
n
(z) → ∞ равномерно в O
r/2
(z
0
) при n → ∞. Пра-
вая часть неравенства (2) показывает, что если {u
n
(z
0
)} сходится,
то {u
n
(z)} также сходится равномерно в круге O
r/2
(z
0
) к некоторой
функции u(z). Очевидно, что предельная функция u(z) будет непре-
рывной в O
r/2
(z
0
).
Таким образом, область D распадается на два открытых непе-
ресекающихся множества: D
1
, на котором u
n
(z) → ∞ локально рав-
номерно при n → ∞, и D
2
, на котором u
n
(z) сходится к некоторой
непрерывной функции u(z) также локально равномерно. В силу связ-
ности области D одно из этих множеств должно быть пустым.
Остается доказать, что в случае D
2
= D предельная функция u(z)
является гармонической. Пусть z
0
∈ D и r > 0, такое, что O
r
(z
0
) ⊂
D и u
n
(z) → u(z) равномерно в O
r
(z
0
) при n → ∞. Тогда для всех
ζ ∈ D получаем
u(z
0
+ rζ) = lim
n→∞
u
n
(z
0
+ rζ) =
= lim
n→∞
1
2π
Z
T
1 − |ζ|
2
|æ − ζ|
2
u
n
(z
0
+ ræ) |dæ| =
1
2π
Z
T
1 − |ζ|
2
|æ − ζ|
2
u(z
0
+ ræ) |dæ|.
Поскольку в правой части равенства мы имеем интеграл Пуассона,
то u(z
0
+ rζ) является гармонической в D функцией. Следовательно,
u(z) гармонична в O
r
(z
0
).
2
120 Глава VI . Гармонические функции
(ii) последовательность {un } сходится локально равномерно в D
при n → ∞ к некоторой гармонической в D функции u.
Доказательство. Пусть z0 — произвольная точка области D. В си-
лу открытости D найдется такое r > 0, что Or (z0 ) ⊂ D. Поскольку
при любых натуральных n и p функция un+p − un является неотрица-
тельной, то в силу (1)
r−|z−z0 | r+|z−z0 |
r+|z−z0 | (un+p (z0 ) − un (z0 )) ≤ un+p (z) − un (z) ≤ r−|z−z0 | (un+p (z0 ) − un (z0 ))
при всех z ∈ Or (z0 ). В круге же Or/2 (z0 ) будет выполняться неравен-
ство
1
(un+p (z0 ) − un (z0 )) ≤ un+p (z) − un (z) ≤ 3(un+p (z0 ) − un (z0 )). (2)
3
Левая часть неравенства (2) показывает, что если un (z0 ) → ∞ при
n → ∞, то un (z) → ∞ равномерно в Or/2 (z0 ) при n → ∞. Пра-
вая часть неравенства (2) показывает, что если {un (z0 )} сходится,
то {un (z)} также сходится равномерно в круге Or/2 (z0 ) к некоторой
функции u(z). Очевидно, что предельная функция u(z) будет непре-
рывной в Or/2 (z0 ).
Таким образом, область D распадается на два открытых непе-
ресекающихся множества: D1 , на котором un (z) → ∞ локально рав-
номерно при n → ∞, и D2 , на котором un (z) сходится к некоторой
непрерывной функции u(z) также локально равномерно. В силу связ-
ности области D одно из этих множеств должно быть пустым.
Остается доказать, что в случае D2 = D предельная функция u(z)
является гармонической. Пусть z0 ∈ D и r > 0, такое, что Or (z0 ) ⊂
D и un (z) → u(z) равномерно в Or (z0 ) при n → ∞. Тогда для всех
ζ ∈ D получаем
u(z0 + rζ) = n→∞
lim un (z0 + rζ) =
1 Z 1 − |ζ|2 1 Z 1 − |ζ|2
= n→∞
lim un (z0 + ræ) |dæ| = u(z0 + ræ) |dæ|.
2π T |æ − ζ|2 2π T |æ − ζ|2
Поскольку в правой части равенства мы имеем интеграл Пуассона,
то u(z0 + rζ) является гармонической в D функцией. Следовательно,
u(z) гармонична в Or (z0 ).
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
