Графики элементарных функций. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 §3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
3.3. çÒÁÆÉË ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÓËÉÚÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y = f(g(x)) ÓÔÒÏÑÔ
ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎËÃÉÊ y = f(x) É g = g(x). úÁÔÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏ-
ÔÒÅÔØ ÕÞÁÓÔËÉ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ (a
k
; a
k+1
), k = 1, 2, . . ., ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x). îÁ
ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÕÞÁÓÔËÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ (a
k
; a
k+1
) ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ-
×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(g). ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÕÞÁÓÔÏË ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ
(a
k
; a
k+1
) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÉÅ (b
l
; b
l+1
) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(g)
ÂÙÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ (g(b
l
); g(b
l+1
)). òÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÓÓÌÅ-
ÄÏ×ÁÎÉÊ ÚÁÎÏÓÑÔ × ÔÁÂÌÉÃÕ.
x (a; b) õÞÁÓÔËÉ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x) Ó
ÕÞ¾ÔÏÍ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ y = f(g)
g = g(x) g(a) % g(b)
g(a) & g(b)
õËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x) ÎÁ
ÕÞÁÓÔËÅ (a; b) (ÕÂÙ×ÁÎÉÅ ÉÌÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅ)
y = f(g) f(g(a)) % f (g(b))
f(g(a)) & f (g(b))
õËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (g) ÎÁ
ÕÞÁÓÔËÅ (g(a); g(b)
ðÒÉÍÅÒ 6. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2
1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. çÒÁÆÉËÉ ÆÕÎËÃÉÊ g =
1
x
É y = 2
x
ÓÍ. ÎÁ ÒÉÓ. Á), Â). æÕÎËÃÉÑ
y = 2
1
x
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× (−∞; 0) É (0; +∞), ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0)∪(0; +∞). îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0) ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ÍÏÎÏÔÏÎ-
ÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 0 ÐÒÉ x → −∞ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë −∞ ÐÒÉ x → 0;
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (0; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë +∞ ÐÒÉ x → 0
É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 0 ÐÒÉ x → +∞. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
y = 2
g
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0) ∪ (0; +∞). îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0),
ËÏÇÄÁ x ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë −∞, ÆÕÎËÃÉÑ y = 2
g
ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÅÄÉÎÉÃÅ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ
ÍÅÎØÛÅ 1, Á ËÏÇÄÁ x → 0, ÔÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 0. îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (0; +∞), ËÏÇÄÁ
x → 0, ÆÕÎËÃÉÑ y = 2
g
ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë +∞, Á ËÏÇÄÁ x → +∞, ÔÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë
ÅÄÉÎÉÃÅ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ ÂÏÌØÛÅ 1. ôÅÐÅÒØ ÒÉÓÕÅÍ ÜÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2
1
x
(ÓÍ. ÒÉÓ. ×)).
26                                   §3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

3.3. çÒÁÆÉË ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ

   äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÓËÉÚÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (g(x)) ÓÔÒÏÑÔ
ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎËÃÉÊ y = f (x) É g = g(x). úÁÔÅÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏ-
ÔÒÅÔØ ÕÞÁÓÔËÉ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ (ak ; ak+1), k = 1, 2, . . ., ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x). îÁ
ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÕÞÁÓÔËÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ (ak ; ak+1) ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ-
×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (g). ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÕÞÁÓÔÏË ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ
(ak ; ak+1) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÉÅ (bl ; bl+1) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (g)
ÂÙÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ (g(bl ); g(bl+1)). òÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÓÓÌÅ-
ÄÏ×ÁÎÉÊ ÚÁÎÏÓÑÔ × ÔÁÂÌÉÃÕ.

     x          (a; b)        õÞÁÓÔËÉ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x) Ó
                              ÕÞ¾ÔÏÍ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
                              ÆÕÎËÃÉÉ y = f (g)
 g = g(x)    g(a) % g(b)      õËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ g = g(x) ÎÁ
             g(a) & g(b)      ÕÞÁÓÔËÅ (a; b) (ÕÂÙ×ÁÎÉÅ ÉÌÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅ)
 y = f (g) f (g(a)) % f (g(b)) õËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (g) ÎÁ
           f (g(a)) & f (g(b)) ÕÞÁÓÔËÅ (g(a); g(b)
                                                         1
   ðÒÉÍÅÒ 6. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2 x .
   òÅÛÅÎÉÅ. çÒÁÆÉËÉ ÆÕÎËÃÉÊ g = x1 É y = 2x ÓÍ. ÎÁ ÒÉÓ. Á), Â). æÕÎËÃÉÑ
      1
y = 2 x ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× (−∞; 0) É (0; +∞), ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0) ∪ (0; +∞). îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0) ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ÍÏÎÏÔÏÎ-
ÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 0 ÐÒÉ x → −∞ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë −∞ ÐÒÉ x → 0;
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (0; +∞) ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë +∞ ÐÒÉ x → 0
É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 0 ÐÒÉ x → +∞. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
y = 2g ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0) ∪ (0; +∞). îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (−∞; 0),
ËÏÇÄÁ x ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë −∞, ÆÕÎËÃÉÑ y = 2g ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÅÄÉÎÉÃÅ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ
ÍÅÎØÛÅ 1, Á ËÏÇÄÁ x → 0, ÔÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 0. îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å (0; +∞), ËÏÇÄÁ
x → 0, ÆÕÎËÃÉÑ y = 2g ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë +∞, Á ËÏÇÄÁ x → +∞, ÔÏ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë
                                                                       1
ÅÄÉÎÉÃÅ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ ÂÏÌØÛÅ 1. ôÅÐÅÒØ ÒÉÓÕÅÍ ÜÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2 x
(ÓÍ. ÒÉÓ. ×)).

Страницы