Графики элементарных функций. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

32 §3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
ðÒÉÍÅÒ 11. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ M(x; y) ÉÍÅÅÔ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (−1; 1).
îÁÊÔÉ ÐÏÌÑÒÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏ×ÍÅÝÅÎÙ.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ:
r =
p
(−1)
2
+ (−1)
2
=
√
2, cos ϕ = −
√
2
2
, sin ϕ = −
√
2
2
,
ÏÔËÕÄÁ ϕ =
5π
4
+ 2πk, k ∈ Z, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÌÑÒÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ M ÅÓÔØ
r =
√
2, ϕ =
5π
4
+ 2πk, k ∈ Z.
ðÒÉÍÅÒ 12. îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ × ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ r = cos 3ϕ.
òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ cos 3ϕ ¡ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ, Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ
2π
3
,
ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÒÉ×ÕÀ ÄÌÑ 0 6 ϕ <
2π
3
, Á ÚÁÔÅÍ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ
ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ, ÐÏÓÔÒÏÉÔØ Å¾ ÄÌÑ
2π
3
6 ϕ <
4π
3
É, ÎÁËÏÎÅÃ, ÄÌÑ
4π
3
6 ϕ <
< 2π. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÕ ÞÁÓÔØ ËÒÉ×ÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÁ × ÕÇÌÅ 0 6 ϕ <
2π
3
.
æÕÎËÃÉÑ r = cos 3ϕ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
0;
π
6
ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÏÔ 1 ÄÏ 0; ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
π
6
;
π
2
r < 0, ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅÔ ÔÏÞÅË ÌÉÎÉÉ, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ×ÎÕÔÒÉ
ÕÇÌÁ
π
6
< ϕ <
π
2
; ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ
π
2
;
2π
3
ËÒÉ×ÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÏÔ 0 ÄÏ 1.
äÌÑ ϕ ∈
0;
π
6
∪
π
2
;
2π
3
ÜÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ Á). ïÓÔÁÌÏÓØ
ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÒÉ×ÕÀ × ÄÒÕÇÉÈ Ä×ÕÈ ÕÇÌÁÈ:
2π
3
6 ϕ <
4π
3
É
4π
3
6 ϕ < 2π,
ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ cos 3ϕ. üÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÉ×ÅľÎ
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ Â).
32                                    §3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ




   ðÒÉÍÅÒ 11. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ M (x; y) ÉÍÅÅÔ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (−1; 1).
îÁÊÔÉ ÐÏÌÑÒÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÏ×ÍÅÝÅÎÙ.
   òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ:
                                                    √              √
             p                     √                   2             2
        r = (−1)2 + (−1)2 = 2, cos ϕ = − , sin ϕ = − ,
                                                      2             2
             5π
ÏÔËÕÄÁ
    √ ϕ = 5π  4 + 2πk, k ∈ Z, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÌÑÒÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ M ÅÓÔØ
r = 2, ϕ = 4 + 2πk, k ∈ Z.
   ðÒÉÍÅÒ 12. îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ × ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ r = cos 3ϕ.
   òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ cos 3ϕ ¡ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ, Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ 2π         3
                                                                               ,
                                                         2π
ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÒÉ×ÕÀ ÄÌÑ 0 6 ϕ < 3 , Á ÚÁÔÅÍ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ
ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ, ÐÏÓÔÒÏÉÔØ Å¾ ÄÌÑ 2π                 4π                 4π
                                         3 6 ϕ < 3 É, ÎÁËÏÎÅÃ, ÄÌÑ 3 6 ϕ <
                                                                            2π
< 2π. ðÏÓÔÒÏÉÍ ÔÕ ÞÁÓÔØ ËÒÉ×ÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ   π  ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÁ × ÕÇÌÅ 0 6 ϕ < 3 .
æÕÎËÃÉÑ r = cos    3ϕ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 0; 6 ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÏÔ 1 ÄÏ 0; ÎÁ
            π π
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 6 ; 2 r < 0, ÐÏÜÔÏÍÕ  π 2π ÎÅÔ ÔÏÞÅË ÌÉÎÉÉ, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ×ÎÕÔÒÉ
     π          π
ÕÇÌÁ 6 < ϕ <2 ; ÎÁ  ÏÔÒÅÚËÅ    2; 3    ËÒÉ×ÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÏÔ 0 ÄÏ 1.
äÌÑ ϕ ∈ 0; π6 ∪ π2 ; 2π
                        
                       3
                           ÜÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ Á). ïÓÔÁÌÏÓØ
ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÒÉ×ÕÀ × ÄÒÕÇÉÈ Ä×ÕÈ ÕÇÌÁÈ: 2π                    4π  4π
                                                 3 6 ϕ < 3 É 3 6 ϕ < 2π,
ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ cos 3ϕ. üÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÉ×ÅľÎ
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ Â).

Страницы