Графики элементарных функций. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

30 §3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
ËÁË
x(2π −t
0
) = x(t
0
), y(2π −t
0
) = −y(t
0
), x(π −t
0
) = −x(t
0
), y(π −t
0
) = y(t
0
),
ÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÞËÏÊ (x
0
; y
0
) ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÌÅÖÁÔ ÔÏÞËÉ (−x
0
; y
0
) É (x
0
; −y
0
), ÔÏ
ÅÓÔØ ÏÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÅÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÓÅÊ. ðÕÓÔØ t ÍÅ-
ÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ
0;
π
2
. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ ÌÅÖÁÔ × ÐÅÒ-
×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË “x = a cos
2
t, “y = a sin
2
t. üÔÏ
ÏÔÒÅÚÏË ÐÒÑÍÏÊ “x + “y = a, ÌÅÖÁÝÉÊ × ÐÅÒ×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ. ôÁË ËÁË ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
t, 0 < t <
π
2
, x < “x, y < “y, ÔÏ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÜÔÏÊ ÐÒÑÍÏÊ.
üÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×).
ðÒÉÍÅÒ 9. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ x = a cos 2t, y = a sin 3t, a > 0.
òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË ÔÏÞËÁ (x(t
0
+ 2π); y(t
0
+ 2π)) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ
(x(t
0
); y(t
0
)), ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ ÄÌÉÎÙ 2π. ïÔ-
ÍÅÔÉÍ Åݾ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
x(−t) = x(t), y(−t) = −y(t), x(π − t) = x(t), y(π − t) = y(t).
ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ
0;
π
2
ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÔÅ
ÖÅ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÞÔÏ É ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ
π
2
; π
, Á ÐÒÉ ÉÚ-
ÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [−π; 0] ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox Ó ÔÏÞËÁÍÉ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÍÉ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ [0; π]. ôÁ-
ËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ
0;
π
2
(ÓÍ. ÒÉÓÕÎËÉ
Á) É Â)).
îÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ
0;
π
2
x(t) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏÍÕ ÐÒÏ-
ÍÅÖÕÔËÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÁ ×ÅÔ×Ø ËÒÉ×ÏÊ. ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ 0 ÄÏ
π
6
, Ä×É-
ÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ××ÅÒÈ ÏÔ ÔÏÞËÉ (x(0); y(0)) = (a; 0) ÄÏ
ÔÏÞËÉ
x
π
6
; y
π
6

=
a
2
; a
. ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ
π
6
ÄÏ
π
2
, Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ
ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ×ÎÉÚ ÄÏ ÔÏÞËÉ
x
π
2
; y
π
2

= (−a; a), ÐÅÒÅÓÅËÁÑ ÏÓØ Oy ×
ÔÏÞËÅ
x
π
4
; y
π
4

=
0;
a
√
2
É ÏÓØ Ox × ÔÏÞËÅ
x
π
3
; y
π
3

=
−
a
2
; 0
. ðÒÉ
ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÒÏÓÔÅ t ÏÔ
π
2
ÄÏ π, ËÁË ÂÙÌÏ ÏÔÍÅÞÅÎÏ ×ÙÛÅ, ÔÏÞËÉ (x(t); y(t))
ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÔÏÊ ÖÅ ÓÁÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÏÔ −π ÄÏ 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÔÏ-
ÒÕÀ ×ÅÔ×Ø ËÒÉ×ÏÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÐÅÒ×ÏÊ ×ÅÔ×É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox. üÓËÉÚ
ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×).
30                                      §3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

ËÁË
x(2π − t0 ) = x(t0), y(2π − t0 ) = −y(t0), x(π − t0 ) = −x(t0), y(π − t0) = y(t0 ),
ÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÞËÏÊ (x0; y0 ) ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÌÅÖÁÔ ÔÏÞËÉ (−x0; y0) É (x0; −y0 ), ÔÏ
ÅÓÔØ ÏÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ        ÏÂÅÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÓÅÊ. ðÕÓÔØ t ÍÅ-
                               π
                                 
ÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ 0; 2 . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ ÌÅÖÁÔ × ÐÅÒ-
×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË x        “ = a cos2 t, y“ = a sin2 t. üÔÏ
ÏÔÒÅÚÏË ÐÒÑÍÏÊ x   “ + y“ = a, ÌÅÖÁÝÉÊ × ÐÅÒ×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ. ôÁË ËÁË ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
            π
t, 0 < t < 2 , x < x“, y < y“, ÔÏ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÜÔÏÊ ÐÒÑÍÏÊ.
üÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×).
    ðÒÉÍÅÒ 9. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ x = a cos 2t, y = a sin 3t, a > 0.
    òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË ÔÏÞËÁ (x(t0 + 2π); y(t0 + 2π)) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ
(x(t0); y(t0)), ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ ÄÌÉÎÙ 2π. ïÔ-
ÍÅÔÉÍ Åݾ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
      x(−t) = x(t),   y(−t) = −y(t),     x(π − t) = x(t),
                                                    y(π − t) = y(t).
                                                    π
ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ 0; 2  ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ      ÔÅ
                                                         π
                                                             
ÖÅ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÞÔÏ É ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ 2 ; π , Á ÐÒÉ ÉÚ-
ÍÅÎÅÎÉÉ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [−π; 0] ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox Ó ÔÏÞËÁÍÉ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÍÉ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ
                                                       π t ÎÁ [0; π]. ôÁ-
ËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ 0; 2 (ÓÍ. ÒÉÓÕÎËÉ
Á) É Â)).




   îÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ 0; π2 x(t) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏÍÕ ÐÒÏ-
                     
ÍÅÖÕÔËÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÁ ×ÅÔ×Ø ËÒÉ×ÏÊ. ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ 0 ÄÏ π6 , Ä×É-
ÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ   ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ
                           ×ÌÅ×Ï ××ÅÒÈ ÏÔ ÔÏÞËÉ      (x(0); y(0)) = (a; 0) ÄÏ
         π      π      a                        π     π
                 
ÔÏÞËÉ x 6 ; y 6 = 2 ; a . ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô   ÏÔ 6 ÄÏ 2 , Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ
                                   π     π
                                     
ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ×ÎÉÚÄÏ ÔÏÞËÉ
                               x 2 ; y 2 = (−a; a), ÐÅÒÅÓÅËÁÑ ÏÓØ Oy ×
ÔÏÞËÅ x π4 ; y π4 = 0; √a2 É ÏÓØ Ox × ÔÏÞËÅ x π3 ; y π3 = − a2 ; 0 . ðÒÉ
                                                                 

ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÒÏÓÔÅ t ÏÔ π2 ÄÏ π, ËÁË ÂÙÌÏ ÏÔÍÅÞÅÎÏ ×ÙÛÅ, ÔÏÞËÉ (x(t); y(t))
ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÔÏÊ ÖÅ ÓÁÍÏÊ ËÒÉ×ÏÊ. ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t ÏÔ −π ÄÏ 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÔÏ-
ÒÕÀ ×ÅÔ×Ø ËÒÉ×ÏÊ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÐÅÒ×ÏÊ ×ÅÔ×É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ Ox. üÓËÉÚ
ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×).

Страницы