Графики элементарных функций. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ 29
ðÕÓÔØ t ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ x(t) É y(t) ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, ÔÏ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ
ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÎÁÐÒÁ×Ï ××ÅÒÈ; ÅÓÌÉ x(t) ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á y(t) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, ÔÏ
Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ××ÅÒÈ É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. åÓÌÉ ÐÒÉ t → t
0
ÉÍÅÅÍ x → a, Á y(t) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÔÉ-
ËÁÌØÎÕÀ ÁÓÉÍÐÔÏÔÕ x = a. åÓÌÉ ÐÒÉ t → t
0
ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ x(t) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ
Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, Á y(t) → b, ÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÉÍÅÅÔ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÁÓÉÍÐÔÏÔÕ
y = b.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÓËÉÚÁ ËÒÉ×ÏÊ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉ, ×ÁÖÎÏ ÔÏÞÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÕÞÁÓÔËÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÊ x(t) É y(t).
ðÒÉÍÅÒ 8. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ x = a cos
3
t, y = a sin
3
t, a > 0.
òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË ÔÏÞËÁ (x(t
0
+ 2π); y(t
0
+ 2π)) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ
(x(t
0
); y(t
0
)), ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0; 2π). ðÏÓÔÒÏ-
ÉÍ ÜÓËÉÚÙ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ x(t) É y(t) (ÓÍ. ÒÉÓÕÎËÉ Á) É Â)).
ðÒÏÍÅÖÕÔËÁÍÉ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ x(t) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (0; π) É (π; 2π).
ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ 0 ÄÏ
π
2
, Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ××ÅÒÈ ÏÔ
ÔÏÞËÉ (x(0); y(0)) = (a; 0) ÄÏ ÔÏÞËÉ
x
π
2
; y
π
2

= (0; a). ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ
π
2
ÄÏ π, Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ×ÎÉÚ ÄÏ ÔÏÞËÉ (x(π); y(π)) =
= (−a; 0). ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ π ÄÏ
3π
2
, Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÐÒÁ×Ï
×ÎÉÚ ÄÏ ÔÏÞËÉ
x
3π
2
; y
3π
2

= (0; −a). ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ
3π
2
ÄÏ 2π, Ä×ÉÖÅ-
ÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÐÒÁ×Ï ××ÅÒÈ ÄÏ ÔÏÞËÉ (x(2π); y(2π)) = (a; 0). ôÁË
§3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ                                         29




   ðÕÓÔØ t ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ x(t) É y(t) ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, ÔÏ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ
ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÎÁÐÒÁ×Ï ××ÅÒÈ; ÅÓÌÉ x(t) ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á y(t) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, ÔÏ
Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ××ÅÒÈ É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. åÓÌÉ ÐÒÉ t → t 0
ÉÍÅÅÍ x → a, Á y(t) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÔÉ-
ËÁÌØÎÕÀ ÁÓÉÍÐÔÏÔÕ x = a. åÓÌÉ ÐÒÉ t → t0 ÉÍÅÅÍ, ÞÔÏ x(t) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ
Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, Á y(t) → b, ÔÏ ËÒÉ×ÁÑ ÉÍÅÅÔ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÁÓÉÍÐÔÏÔÕ
y = b.
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÓËÉÚÁ ËÒÉ×ÏÊ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉ, ×ÁÖÎÏ ÔÏÞÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÕÞÁÓÔËÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÊ x(t) É y(t).
   ðÒÉÍÅÒ 8. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÓËÉÚ ËÒÉ×ÏÊ x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0.
   òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË ÔÏÞËÁ (x(t0 + 2π); y(t0 + 2π)) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÔÏÞËÏÊ
(x(t0); y(t0)), ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ t ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [0; 2π). ðÏÓÔÒÏ-
ÉÍ ÜÓËÉÚÙ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ x(t) É y(t) (ÓÍ. ÒÉÓÕÎËÉ Á) É Â)).




   ðÒÏÍÅÖÕÔËÁÍÉ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ x(t) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ (0; π) É (π; 2π).
ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ 0 ÄÏ π2 , Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ   ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ××ÅÒÈ ÏÔ
                                           π    π
ÔÏÞËÉ (x(0); y(0)) = (a; 0) ÄÏ ÔÏÞËÉ x 2 ; y 2 = (0; a). ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ
π
2 ÄÏ π, Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÌÅ×Ï ×ÎÉÚ ÄÏ ÔÏÞËÉ (x(π); y(π)) =
= (−a; 0). ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô      π ÄÏ 3π
                            ÏÔ     2
                                       , Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÐÒÁ×Ï
                   3π
×ÎÉÚ ÄÏ ÔÏÞËÉ x 2 ; y 2 = (0; −a). ëÏÇÄÁ t ÒÁÓÔ¾Ô ÏÔ 3π
                            3π
                      
                                                               2 ÄÏ 2π, Ä×ÉÖÅ-
ÎÉÅ ÐÏ ËÒÉ×ÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÐÒÁ×Ï ××ÅÒÈ ÄÏ ÔÏÞËÉ (x(2π); y(2π)) = (a; 0). ôÁË

Страницы