Графики элементарных функций. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ 31
3.5. ðÏÌÑÒÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ × ÐÏÌÑÒÎÏÊ
ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
ðÏÌÏÖÅÎÉÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÌÑÒÎÏÊ
ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ðÏÌÑÒÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅÍ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ O, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÐÏÌÀÓÏÍ, É ×ÙÈÏÄÑÝÅÇÏ ÉÚ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÌÕ-
ÞÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓØÀ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÕÇÌÙ, ÏÔÓÞÉ-
ÔÙ×ÁÅÍÙÅ ÏÔ ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, Á ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ ¡
ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ.
ðÏÌÑÒÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ r É ϕ ÔÏÞËÉ M, ÎÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÅÊ Ó ÐÏÌÀÓÏÍ,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ r ÏÔ ÔÏÞËÉ M ÄÏ ÐÏÌÀÓÁ O É ÕÇÏÌ ϕ ÏÔ ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ
ÄÏ ÌÕÞÁ OM. äÌÑ ÐÏÌÀÓÁ O ÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ r = 0, Á ϕ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾Î. ðÏÌÑÒ-
ÎÙÊ ÕÇÏÌ ÔÏÞËÉ M ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
ÕÇÌÁ ϕ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ 0 6 ϕ < 2π.
õÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÐÏÌÑÒÎÙÍÉ É ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍÉ ËÏ-
ÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ. ðÕÓÔØ ÎÁÞÁÌÏ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó
ÐÏÌÀÓÏÍ, Á ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÓÉ Ox ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓØÀ.
ôÏÇÄÁ, ÍÅÖÄÕ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x; y) ÔÏÞËÉ M É Å¾ ÐÏÌÑÒÎÙÍÉ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (r, ϕ) ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
é ÏÂÒÁÔÎÏ,
r =
p
x
2
+ y
2
, cos ϕ =
x
r
, sin ϕ =
y
r
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ x 6= 0, y 6= 0, ÔÏ ÕÇÏÌ ϕ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ
tg ϕ =
y
x
, ÐÒÉÞ¾Í ÚÁ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ϕ ×ÚÑÔØ ÕÇÏÌ ÉÚ [0; 2π) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÚÎÁË
sin ϕ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ y.
ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ × ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ r = 2.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ r =
p
x
2
+ y
2
, ÔÏ × ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2 =
p
x
2
+ y
2
ÉÌÉ x
2
+ y
2
= 4 ¡ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÏÍ 2 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ (0; 0).
§3. üÓËÉÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ                                         31

3.5. ðÏÌÑÒÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ × ÐÏÌÑÒÎÏÊ
     ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ

   ðÏÌÏÖÅÎÉÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÌÑÒÎÏÊ
ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ðÏÌÑÒÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅÍ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ O, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÐÏÌÀÓÏÍ, É ×ÙÈÏÄÑÝÅÇÏ ÉÚ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÌÕ-
ÞÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓØÀ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÕÇÌÙ, ÏÔÓÞÉ-
ÔÙ×ÁÅÍÙÅ ÏÔ ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, Á ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ ¡
ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ.




   ðÏÌÑÒÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ r É ϕ ÔÏÞËÉ M , ÎÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÅÊ Ó ÐÏÌÀÓÏÍ,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ r ÏÔ ÔÏÞËÉ M ÄÏ ÐÏÌÀÓÁ O É ÕÇÏÌ ϕ ÏÔ ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ
ÄÏ ÌÕÞÁ OM . äÌÑ ÐÏÌÀÓÁ O ÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ r = 0, Á ϕ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾Î. ðÏÌÑÒ-
ÎÙÊ ÕÇÏÌ ÔÏÞËÉ M ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
ÕÇÌÁ ϕ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ 0 6 ϕ < 2π.
   õÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÐÏÌÑÒÎÙÍÉ É ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍÉ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍÉ ËÏ-
ÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ. ðÕÓÔØ ÎÁÞÁÌÏ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó
ÐÏÌÀÓÏÍ, Á ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÓÉ Ox ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÏÓØÀ.
ôÏÇÄÁ, ÍÅÖÄÕ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x; y) ÔÏÞËÉ M É Å¾ ÐÏÌÑÒÎÙÍÉ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (r, ϕ) ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
                           x = r cos ϕ,   y = r sin ϕ.
é ÏÂÒÁÔÎÏ,              p                   x            y
                   r=    x2 + y 2 ,   cos ϕ = , sin ϕ = .
                                            r            r
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ x 6= 0, y 6= 0, ÔÏ ÕÇÏÌ ϕ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ
tg ϕ = xy , ÐÒÉÞ¾Í ÚÁ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ϕ ×ÚÑÔØ ÕÇÏÌ ÉÚ [0; 2π) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÚÎÁË
sin ϕ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ y.
   ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ × ÐÏÌÑÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ r = 2.            p
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ r = p x2 + y 2 , ÔÏ × ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2 = x2 + y 2 ÉÌÉ x2 + y 2 = 4 ¡ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÏÍ 2 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ (0; 0).

Страницы