Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач. Гребенюк Г.И - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

103
5.2. Формула Эйлера для критической силы.
Учет способов закрепления стержня
Задачу об устойчивости центрально сжатого силой F пря-
молинейного стержня часто называют задачей Эйлера, так как
именно им она была впервые рассмотрена в 1744 г. Для решения
этой задачи Эйлером была предложена математическая модель,
которая послужила в дальнейшем основой статического метода
(метода Эйлера) исследования устойчивости.
Согласно методу Эйлера исследуется возможность сущест-
вования,
наряду с исходной, другой формы упругого равнове-
сия, порожденной возмущениями.
Такой формой в рассматриваемой задаче является изгибная
(рис. 5.2), и при ее описании в силу малости возмущений, можно
воспользоваться приближенным дифференциальным уравнени-
ем оси изогнутой балки.
EI(x) v (x) M(x)
′
′
⋅
= (5.2)
Так как в данном случае M(x) F v(x)
=
−⋅ , то
(5.2) преобразуется виду:
2
v(x) kv(x) 0
′′
+
= , (5.3)
где
2
F
k
EI(x)
=
.
Пусть EI(x)=EI=const. Тогда уравнение (5.3)
– линейное дифференциальное уравнение второ-
го порядка с постоянными коэффициентами.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
v(x) A sin kx B coskx
=
⋅+⋅ , (5.4)
где А, В – постоянные интегрирования. Для оп-
ределения А, В необходимо использовать кине-
матические граничные условия, которые в данном случае запи-
шутся следующим образом:
x=0, v(0) 0
=
а)
x=
l, v(l) 0
=
б)
Подставляя а) в (5.4) получим В=0.
Из б) следует: Asink
l=0 (5.5) 
    5.2. Формула Эйлера для критической силы.
         Учет способов закрепления стержня

     Задачу об устойчивости центрально сжатого силой F пря-
молинейного стержня часто называют задачей Эйлера, так как
именно им она была впервые рассмотрена в 1744 г. Для решения
этой задачи Эйлером была предложена математическая модель,
которая послужила в дальнейшем основой статического метода
(метода Эйлера) исследования устойчивости.
     Согласно методу Эйлера исследуется возможность сущест-
вования, наряду с исходной, другой формы упругого равнове-
сия, порожденной возмущениями.
     Такой формой в рассматриваемой задаче является изгибная
(рис. 5.2), и при ее описании в силу малости возмущений, можно
воспользоваться приближенным дифференциальным уравнени-
ем оси изогнутой балки.
                             EI(x) ⋅ v′′(x) = M(x)                (5.2)
                      Так как в данном случае M(x) = − F ⋅ v(x) , то
                 (5.2) преобразуется виду:
                                 v′′(x) + k 2 v(x) = 0 ,          (5.3)
                                                  F
                                    где k 2 =         .
                                                EI(x)
                      Пусть EI(x)=EI=const. Тогда уравнение (5.3)
                 – линейное дифференциальное уравнение второ-
                 го порядка с постоянными коэффициентами.
                 Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
                                 v(x) = A ⋅ sin kx + B ⋅ cos kx , (5.4)
                 где А, В – постоянные интегрирования. Для оп-
                 ределения А, В необходимо использовать кине-
матические граничные условия, которые в данном случае запи-
шутся следующим образом:
                          x=0, v(0) = 0               а)
                          x=l, v(l) = 0               б)
Подставляя а) в (5.4) получим В=0.
        Из б) следует: Asinkl=0                                   (5.5)


                                 103

Страницы