Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач. Гребенюк Г.И - 104 стр.

Так как А ≠ 0 (из условия существования возмущенной формы),
то из (5.5) следует уравнение:
                                   sinkl=0                (5.6)
     Корни трансцендентного уравнения (5.6) (исключая триви-
альный kl=0) определяют критические значения нагрузки, при
которых возможно существование изгибной формы равновесия:
                       F
                 kl = cr l = π, 2π,..., nπ,...
                       EI
     Отсюда при к l = nπ получаем:
                               n 2 π2 EI
                        Fcr =            , n=1,…, ∞       (5.7)
                                   l2
     Соотношение (5.7) определяет бесконечный ряд критиче-
ских значений нагрузки, соответствующим различным формам
изгиба стержня в результате потери устойчивости. Однако прак-
тическое значение имеет только первая форма, соответствующая
минимальной критической силе
                                 π2 EI
                         Fcr1 = 2 = Fcr
                                   l
     В том случае, когда на деформацию стержня не наложены
какие-либо дополнительные ограничения, возмущенная форма
равновесия реализуется в плоскости минимального сопротивле-
ния изгибу, и критическое значение силы равно:
                               π2 EI min
                        Fcr =                             (5.8)
                                   l2
     Полученное выражение и есть формула Эйлера для крити-
ческой силы.
     Формула (5.8) получена в предположении закрепления кон-
цов стержня недеформируемыми шарнирными опорами (рис.
5.2), которым соответствуют кинематические условия а), б). При
этом возмущенная форма равновесия (первая собственная фор-
ма) соответствует полуволне синусоиды:
                               π
                v(x) = A ⋅ sin x                          (5.9)
                               l




                             104