Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 80 стр.

       Если тело закреплено в одной точке, и оси координат, жёстко свя-
занные с телом, направлены вдоль главных осей инерции, то все центро-
бежные моменты инерции тела равны нулю и не равны нулю только осе-
вые моменты инерции. Тогда кинетическая энергия тела может быть пред-
ставлена следующим выражением:
                                       1
           Ek = Ekx + Eky + Ekz = ⋅ ( J x ⋅ ω x 2 + J y ⋅ ω y 2 + J z ⋅ ω z 2 ) .          (14.7)
                                       2
       Определим кинетическую энергию твёрдого тела, совершающего
произвольное движение. Как известно, сложное движение твёрдого тела,
можно разложить на поступательное движение произвольно выбранной
точки этого тела и вращательное движение тела, закреплённого в этой точ-
                                                     ке (рис. 14.3). В качестве центра
                                                     вращения выберем точку C –
                                                     центр масс тела. Совместим с точкой
                                                     C начало координат системы Σ′ ,
                                                     которая            движется             пос-
                                                     тупательно относительно непод-
                                                     вижной системы отсчёта Σ . Тог-
                                                     да в системе отсчёта Σ скорость
                                                     i-й точки тела равна:
                                                      � �        �      �         � �
                                                     υi = υC + υi′ = υC + ⎡ω , ri′ ⎤ , (14.8)
                                                                                ⎣     ⎦
                                                         �
                  Рис. 14.3                       где υC — скорость центра масс,
 �
υi′ – линейная скорость вращения i-й точки тела относительно системы от-
счёта Σ′ . Кинетическая энергия i-й точки тела может быть выражена сле-
дующим соотношением:
      1
      2
                     1
                     2
                                   � �      1
                                                     ( �   � �
Eki = ⋅ Δmi ⋅ υi2 = ⋅ Δmi ⋅ (υi ,υi ) = ⋅ Δmi ⋅ υC + υi ′ ,υC + υi ′ =
                                            2
                                                                        �
                                                                          )               (14.9)
   1
                        (�  �
                                 )   1
= ⋅ Δmi ⋅ υC2 + Δmi ⋅ υC ,υi ′ + ⋅ Δmi ⋅ υi ′2 .
   2                                 2
Здесь Δmi – масса i-й точки тела. Суммируя выражение (14.9) по всем ма-
териальным точкам тела, получим:
      1        n
                        ⎛� n             � ⎞ 1 n
Ek = ⋅ υC2 ⋅ ∑ Δmi + ⎜υC , ∑ Δmi ⋅ υi′ ⎟ + ⋅ ∑ Δmi ⋅ υi′2 .                             (14.10)
      2      i =1       ⎝     i =1          ⎠ 2  i =1

Поскольку начало координат системы отсчёта Σ′ совпадает с центром масс
                                          �   1 n            �
твёрдого тела, то в системе Σ′ υC ′ = ⋅ ∑ Δmi ⋅ υi′ = 0. Поэтому уравнение
                                              m i =1
(14.10) преобразуется к следующему виду:
                                    1          1 n
                            Ek = ⋅ m ⋅ υC2 + ⋅ ∑ Δmi ⋅ υi′2 ,                            (14.11)
                                    2          2 i =1

                                               80