Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 79 стр.

                                              2
                                      A1−2 = ∫ M x ⋅ dϕ .                                 (14.1)
                                              1

                                           dLx
Используя уравнение моментов                   = M x , выражение (14.1) можно преоб-
                                            dt
                                       dϕ
                               2                  2
разовать к виду: A1−2        = ∫ dLx ⋅    = ∫ ω x ⋅ d ( J x ⋅ ω x ) . Если J x = m ⋅ r 2 = const ,
                               1
                                       dt 1
то
                                                      2
                                   A1−2 = J x ⋅ ∫ ω x ⋅ dω x .                            (14.2)
                                                      1
       Для вычисления кинетической энергии материальной точки Ekx не-
обходимо определить работу силы, необходимую для того, чтобы изме-
нить скорость движения материальной точки от нулевого значения до ве-
личины ω :
                                         ωx
                                                          J ⋅ω 2
                               A = J x ⋅ ∫ ω x ⋅ dω x = x x = Ekx .                         (14.3)
                                         0
                                                              2
       Чтобы угловую скорость изменить от значения ω x1 до ω x 2 необходи-
мо совершить работу:
                         ωx 2
                                          J x ⋅ ω x 2 2 J x ⋅ ω x12
                A = J x ⋅ ∫ ω x ⋅ dω x =               −            = Ekx 2 − Ekx1 = ΔEkx . (14.4)
                          ω1                   2             2
       Рассмотрим вращение твёрдого
тела относительно оси OX (рис. 14.2).
Кинетическую энергию i-й точки тела
можно           выразить          соотношением:
Ekxi = J xi ⋅ ω x 2 . Поскольку все матери-
                2


альные точки тела имеют одинаковую
угловую скорость, а момент инерции i-й
точки равен J xi = mi ⋅ ρi2 , то кинетичес-
кую энергию всего тела можно описать
следующим выражением:
                                                                            Рис. 14.2
                                                          n
                                                              ω x2     n
                                        Ekx = ∑ Ekxi =               ⋅ ∑ J xi .           (14.5)
                                                      i =1     2      i =1
               n
Здесь J x = ∑ J xi – момент инерции твёрдого тела относительно оси OX .
              i =1
Тогда выражение (14.5) можно преобразовать к виду:
                                        J x ⋅ ω x2
                                  Ekx =            .                                      (14.6)
                                            2
                                                      79