Математические методы в географии. Гриценко В.А - 26 стр.

    • На графике с явная взаимосвязь между переменными х и у отсутству-
ет; какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты ее параметризации
будут здесь неудачными. В частности, обе выбранные прямые одинаково
плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях перемен-
ной у по значениям переменной х.
    Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для табли-
цы исходных данных наблюдается редко, ибо каждая из участвующих в
ней величин может зависеть от многих случайных факторов. Однако фор-
мула (2) (ее называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии
у на х) интересна тем, что позволяет находить значения функции f для не-
табличных значений х, «сглаживая» результаты измерений величины у, т.е.
на всем интервале изменения х. Оправданность такого подхода определя-
ется в конечном счете практической полезностью полученной формулы.

                   3.2. Метод наименьших квадратов

   Через имеющееся «облако» точек всегда можно попытаться провести
линию установленного вида, которая является наилучшей в определенном
смысле среди всех линий данного вида, то есть «ближайшей» к точкам на-
блюдений по их совокупности. Для этого определим вначале понятие бли-
зости линии к некоторому множеству точек на плоскости. Меры такой
близости могут быть различными [13]. Однако любая разумная мера долж-
на быть связана с расстоянием от точек наблюдения до рассматриваемой
линии (задаваемой уравнением y=F(x)).
   Предположим, что приближающая функция F(x) в точках х1, x2,..., xn
имеет значения y1, y2,..., yn. Часто в качестве критерия близости использует-
ся минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой перемен-
ной yi и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений yi.
Здесь считается, что yi и xi – известные данные наблюдений, а F – уравне-
ние линии регрессии с неизвестными параметрами (формулы для их вы-
числения будут приведены ниже). Метод оценивания параметров прибли-
жающей функции, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблю-
дений зависимой переменной от значений искомой функции, называется
методом наименьших квадратов (МНК), или Least Squares Method (LS).
   Итак, задачу приближения функции f теперь можно сформулировать
следующим образом: для функции f, заданной таблицей (1), найти функ-
цию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов Ф была наимень-
шей.
                         Φ = ∑ ( yi − F ( xi )) 2 → min .
                               i


24