Математические методы в географии. Гриценко В.А - 28 стр.

   В экспериментальной практике в качестве приближающих функций в
зависимости от характера точечного графика f часто используются при-
ближающие функции с двумя параметрами:
                                                  1
           1) y = ax + b,              5) y =         ,
                                              ax + b
           2) y = ax2 + bx + c,        6) y = a ⋅ ln x,
                                              a
           3) y = axm,                 7) y = + b ,
                                              x
                                                  x
           4) y = aemx,                8) y =         .
                                              ax + b
Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сво-
дится только к отысканию значений параметров.

               3.3. Нахождение приближающей функции
                в виде основных элементарных функций

    Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практических исследова-
ниях эмпирические зависимости.
    3.3.1. Линейная функция (линейная регрессия). Начальным пунктом
анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости пе-
ременных. Следует при этом учитывать, однако, что «наилучшая» по ме-
тоду наименьших квадратов прямая линия всегда существует, но даже наи-
лучшая не всегда является достаточно хорошей. Если в действительности
зависимость y=f(x) является квадратичной, то ее не сможет адекватно опи-
сать никакая линейная функция, хотя среди всех таких функций обязатель-
но найдется «наилучшая». Если величины х и у вообще не связаны, мы
также всегда сможем найти «наилучшую» линейную функцию y=ax+b для
данной совокупности наблюдений, но в этом случае конкретные значения
а и b определяются только случайными отклонениями переменных и сами
будут очень сильно меняться для различных выборок из одной и той же
генеральной совокупности.
    Рассмотрим теперь задачу оценки коэффициентов линейной регрессии
более формально. Предположим, что связь между x и y линейна и искомую
приближающую функцию будем искать в виде:
                             F ( x, a , b) = ax + b .                (6)
Найдем частные производные по параметрам: Fa' = x, Fb' = 1 .
Подставим полученные соотношения в систему вида (5):
                     ⎧∑ ( yi − axi − b) ⋅ xi = 0,
                     ⎪i
                     ⎨
                     ⎪⎩∑
                       i
                         ( yi − axi − b) = 0,     i = 1..n.

26