Математические методы в географии. Гриценко В.А - 29 стр.

Далее имеем:
                   ⎧∑ yi xi − a ∑ (xi ) 2 − b∑ xi = 0,
                   ⎪i           i            i
                   ⎨
                   ⎪∑ yi − a ∑ xi − nb = 0,            i = 1..n.
                   ⎩i         i

или, деля каждое уравнение на n:
               ⎧ 1                         1               1
                  (
               ⎪⎪ n i∑ ( x i ) 2
                                 ) ⋅ a + (   ∑
                                           n i
                                               x i ) ⋅ b =   ∑ y i xi ,
                                                           n i
                ⎨
                ⎪( 1 ∑ xi ) ⋅ a + b = 1 ∑ yi ,                       i = 1..n.
                ⎪⎩ n i                     n i
Введем обозначения:
                     1                            1
                       ∑ xi = M x ,
                     n i
                                                    ∑ yi = M y ,
                                                  n i
                                                                                 (7)
                     1                            1
                       ∑ yi xi = M xy ,
                     n i
                                                    ∑
                                                  n i
                                                      ( xi ) 2 = M x 2 .

Тогда последняя система будет иметь вид:
                              ⎧ M x 2 ⋅ a + M x ⋅ b = M xy
                              ⎨                                                  (8)
                              ⎩M x ⋅ a + b = M y .
Коэффициенты этой системы Mx, My, Mxy, Mx2 – числа, которые в каждой
конкретной задаче приближения могут быть легко вычислены по форму-
лам (7), где xi, yi – значения из таблицы (1). Решив систему (8), получим
значения параметров a и b, а следовательно, и конкретный вид линейной
функции (6).
   Необходимым условием для выбора линейной функции в качестве ис-
комой эмпирической формулы является соотношение [38]:
                           ⎛ x + xn ⎞
                          y⎜ 1      ⎟ − y ( x1 ) y ( xn ) = 0 .
                           ⎝ 2 ⎠
   3.3.2. Квадратичная функция (квадратичная регрессия). Будем искать
приближающую функцию в виде квадратного трехчлена:
                             F ( x, a , b, c ) = ax 2 + bx + c .                 (9)
Находим частные производные:
                             Fa' = x 2 , Fb' = x, Fc' = 1.

                                                                                 27