Математические методы в географии. Гриценко В.А - 30 стр.

Составим систему вида (5):
                      ⎧
                      ⎪∑  i
                            ( yi − a ( xi ) 2 − bxi − c ) ⋅ ( xi ) 2 = 0,
                      ⎪⎪
                       ⎨∑ ( yi − a ( xi ) − bxi − c ) ⋅ xi = 0,
                                            2

                       ⎪i
                       ⎪∑ ( yi − a ( xi ) 2 − bxi − c ) = 0,            i = 1..n.
                       ⎪⎩ i
После несложных преобразований получается система трех линейных
уравнений с тремя неизвестными a, b, c. Коэффициенты системы так же,
как и в случае линейной функции, выражаются только через известные
данные из таблицы (1):
                            ⎧ M x 4 ⋅ a + M x3 ⋅ b + M x 2 ⋅ c = M x 2 y
                            ⎪
                            ⎨ M x 3 ⋅ a + M x 2 ⋅ b + M x ⋅ c = M xy                             (10)
                            ⎪
                            ⎩ M x2 ⋅ a + M x ⋅ b + c = M y .
Здесь использованы обозначения (7), а также
          1                          1                            1
            ∑
          n i
              ( xi ) 4 = M x 4 ,       ∑
                                     n i
                                         ( xi ) 3 = M x 3 ,         ∑
                                                                  n i
                                                                      ( xi ) 2 y i = M x 2 y .

Решение системы (10) дает значение параметров a, b и с для приближаю-
щей функции (9).
     Квадратичная регрессия применяется, если все выражения вида
у2 -2y1 + y0, y3 -2 y2 + y1, y4 -2 y3 + y2 и т.д. мало отличаются друг от друга.
     3.3.3. Степенная функция (геометрическая регрессия). Найдем теперь
приближающую функция в виде:
                                       F ( x, a, m) = ax m .                                     (11)
Предполагая, что в исходной таблице (1) значения аргумента и значения
функции положительны, прологарифмируем равенство (11) при условии
а>0:
                                     ln F = ln a + m ⋅ ln x .                                    (12)
Так как функция F является приближающей для функции f, функция lnF
будет приближающей для функции lnf. Введем новую переменную u=lnx;
тогда, как следует из (12), lnF будет функцией от u: Ф(u).
   Обозначим
                                       m = A, ln a = B .                                         (13)

28