Математические методы в географии. Гриценко В.А - 27 стр.

    Рассмотрим метод нахождения приближающей функции в общем виде
на примере аппроксимирующей функции с тремя параметрами:
                                      y = F ( x, a , b, c ) .                          (3)
   Пусть F(xi, a, b, c) = yi, i=1, 2,..., n. Сумма квадратов разностей соответ-
ствующих значений f и F будет иметь вид:
                        ∑ [ yi − F ( xi , a, b, c)]2 = Φ (a, b, c) .                   (4)
                          i

Эта сумма является функцией Ф(а, b, c) трех переменных (параметров a, b
и c). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое
условие экстремума:
                          ∂Φ               ∂Φ                ∂Φ
                             = 0,             = 0,              = 0.
                          ∂a               ∂b                ∂c
Получаем систему для определения неизвестных параметров a, b, c.
                    ⎧
                    ⎪∑  i
                          [ yi − F ( xi , a, b, c )] ⋅ Fa' ( xi , a , b, c ) = 0
                    ⎪⎪
                     ⎨∑ [ yi − F ( xi , a, b, c )] ⋅ Fb ( xi , a , b, c ) = 0 .
                                                         '
                                                                                       (5)
                     ⎪i
                     ⎪∑ [ yi − F ( xi , a, b, c )] ⋅ Fc' ( xi , a , b, c ) = 0
                     ⎪⎩ i
Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно
параметров a, b, c, мы и получим конкретный вид искомой функции
F(x, a, b, c). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества
параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, а выра-
зится лишь в изменении количества уравнений в системе (5).
    Естественно ожидать, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в
точках х1, x2,..., xn, будут отличаться от табличных значений y1, y2,..., yn.
Значения разностей yi-F(xi,a, b, c)=εi (i=1, 2,..., n) называются отклонения-
ми измеренных значений y от вычисленных по формуле (3). Для найденной
эмпирической формулы (2) в соответствии с исходной таблицей (1) можно,
следовательно, найти сумму квадратов отклонений σ = ∑ (ε i ) 2 , которая в
                                                                                   i

соответствии с методом наименьших квадратов для заданного вида при-
ближающей функции (и найденных значений параметров) должна быть
наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной
функции, следуя методу наименьших квадратов, лучшим нужно считать
то, для которого сумма (4) имеет наименьшее значение.

                                                                                       25