Математические методы в географии. Гриценко В.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

43
Если подынтегральная функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерыв-
ную четвертую производную, то для поправочного члена формулы (7)
имеет место оценка
(
)
()
4
4
5
2180
M
n
ab
R
n
−
≤ , (8)
где М
4
- максимум модуля четвертой производной подынтегральной функ-
ции на отрезке [a,b].
Cравнивая между собой оценки (6) и (8), замечаем, что с увеличением n
поправочный член формулы трапеций уменьшается пропорционально ве-
личине
2
1
n
, а для формулы парабол – пропорционально величине
4
1
n
, т.е.
метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с
точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Задание:
Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямо-
угольников и по формуле трапеций при n=100. Сравнить полученные ре-
зультаты со значением интеграла, вычисленным с помощью встроенных
функций MathCad.
Образец выполнения задания
f(x) := 2⋅x задание подынтегральной функции
a := 0 b := 1 значения границ отрезка интегрирования
n := 100 число точек разбиения отрезка
n
ab
:h
−
= величина h – длина отрезка разбиения
вычисление интеграла
i := 0.. n
x
i
:= i⋅h y
i
:= f(x
i
)
k := 0.. n - 1 p := 1.. n
∑
⋅=
k
k
hy:slev
∑
⋅
=
p
p
hy:spr
slev = 0.99 spr = 1.01
формула
левых
прямоугольников
формула
правых
прямоугольников
формула
трапеций
   Если подынтегральная функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерыв-
ную четвертую производную, то для поправочного члена формулы (7)
имеет место оценка

                              Rn   ≤
                                      (b − a)
                                             5
                                                M4,                               (8)
                                     180(2n )
                                              4


где М4 - максимум модуля четвертой производной подынтегральной функ-
ции на отрезке [a,b].
    Cравнивая между собой оценки (6) и (8), замечаем, что с увеличением n
поправочный член формулы трапеций уменьшается пропорционально ве-
         1                                                         1
личине 2 , а для формулы парабол – пропорционально величине 4 , т.е.
         n                                                         n
метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с
точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.

                       ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

   Задание: Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямо-
угольников и по формуле трапеций при n=100. Сравнить полученные ре-
зультаты со значением интеграла, вычисленным с помощью встроенных
функций MathCad.

                       Образец выполнения задания

   f(x) := 2⋅x                задание подынтегральной функции
   a := 0 b := 1              значения границ отрезка интегрирования
   n := 100                   число точек разбиения отрезка
          b−a
   h :=                       величина h – длина отрезка разбиения
           n
                              вычисление интеграла
   i := 0.. n
   xi := i⋅h                                 yi := f(x i)
                           формула                                 формула
   k := 0.. n - 1            левых           p := 1.. n             правых
                        прямоугольников                         прямоугольников
   slev := ∑ y k ⋅ h                         spr := ∑ y p ⋅ h
               k                                      p


   slev = 0.99                               spr = 1.01
                            формула
                            трапеций                                              43

Страницы