Математические методы в географии. Гриценко В.А - 47 стр.

          Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

   Решение большинства задач естествознания после соответствующих
упрощений сводится к решению уравнений, содержащих искомую функ-
цию или несколько функций, зависящих от одного или нескольких аргу-
ментов, сами эти аргументы и производные различных порядков от иско-
мых функций, так называемых дифференциальных. Дифференциальное
уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального
процесса или явления, называют дифференциальной моделью этого явле-
ния или процесса. Мы будем рассматривать лишь модели, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, в
которых неизвестные функции зависят только от одной переменной.

                     1. Постановка задачи Коши

   Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка назы-
вается уравнение вида
                               y′=f(x,y).                           (1)
Решением дифференциального уравнения является некоторая функция y(x),
которая при подстановке в выражение обращает его в тождество. Сущест-
вует множество решений (так называемых частных решений) дифференци-
ального уравнения (1), которые могут быть объединены и записаны в виде
общего решения
                               y=y(x, C),                           (2)
где С – произвольная постоянная. Геометрически это можно интерпрети-
ровать как семейство интегральных кривых, каждая из которых является
графиком решения (1) – рис. 12.
   Для выбора одной кривой из семейства (частного решения y=y(x,c)) не-
обходимо задать начальные условия
                               y(x0)=y0,                            (3)
то есть одну точку на искомой кривой решения.

                                                                    45