Математические методы в географии. Гриценко В.А - 49 стр.

где y0 , y0′ ,K, y0(n −1) – заданные числа, то их можно свести к системе диффе-
ренциальных уравнений первого порядка. Так, например, уравнение второ-
го порядка
                                  y ′′ = f ( x, y , y ′) ,                  (6)
можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка при по-
мощи стандартной замены:
                                  ⎧ y′ = z
                                  ⎨                      .                  (7)
                                  ⎩ z ′ = f ( x, y , z )
    Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
основываются на соответствующих методах решения одного уравнения
(см. [17]).
    Очевидно, что ставить вопрос об отыскании приближенных значений
интеграла или решения y(x) уравнения (1) можно в том и только в том слу-
чае, если решение y(x), удовлетворяющее условию (3), существует и един-
ственно. Как известно из общей теории дифференциальных уравнений, для
этого достаточно, чтобы фигурирующая в правой части уравнения (1)
функция f(x,y) была непрерывна в рассматриваемой области по обоим ар-
гументам и имела ограниченную частную производную.

                               3. Метод Эйлера

   В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения
решения дифференциального уравнения. Этот метод дает одновременно и
способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
   Идея метода заключается в том, что на малом промежутке изменения
независимой переменной
                               x0 ≤ x ≤ x0 + h = x1
интегральная кривая дифференциального уравнения
                                     y ′ = f ( x, y )                       (8)
заменяется отрезком прямой (касательной)
                          y − y 0 = f ( x0 , y 0 ) ⋅ ( x − x0 ) .
Отсюда и процесс можно повторить для промежутка и т.д. Число h являет-
ся здесь шагом таблицы. Геометрически интегральная кривая заменяется
при этом ломаной, называемой ломаной Эйлера (рис.13).

                                                                            47