Математические методы в географии. Гриценко В.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

48
Рис. 13
Рабочая формула для определения значений
у по методу Эйлера имеет
вид
kkk
yyy
Δ
+
=
+1
, (9)
где
()
hyxfy
kkk
⋅
=
Δ ,
,
(
)
kk
xyy
=
,
khxx
k
+
=
0
.
Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каж-
дого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее
приемлемым для практики методом оценки точности является в данном
случае метод двойного счета – с шагом
h и с шагом h/2. Совпадение деся-
тичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естествен-
ные основания считать их верными. Ошибка метода пропорциональна
h
2
.
Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точ-
ность так, что ошибка метода становится пропорциональной
h
3
[13].
4. Метод Рунге-Кутта
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
(
)
yxfy ,
=
′
с начальными условиями
y(x
0
)=y
0
. Выберем шаг h и для краткости введем
обозначения
x
i
=x
0
+ih и y
i
=y(x
i
), (i=0,1,2,…).
В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-
Кутта. Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчет-
ных формул:
у
х
х
0
х
1
х
2
интегральная
кривая
ломаная
Эйлера
у
                               у                  интегральная
                                                  кривая


                                                                 ломаная
                                                                 Эйлера




                               у



                                     х0      х1      х2               х

                                                  Рис. 13

      Рабочая формула для определения значений у по методу Эйлера имеет
вид
                                          yk +1 = y k + Δy k ,                              (9)
где
               Δy k = f ( xk , y k ) ⋅ h ,         y k = y ( xk ) ,        xk = x0 + kh .
   Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каж-
дого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее
приемлемым для практики методом оценки точности является в данном
случае метод двойного счета – с шагом h и с шагом h/2. Совпадение деся-
тичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естествен-
ные основания считать их верными. Ошибка метода пропорциональна h2.
Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точ-
ность так, что ошибка метода становится пропорциональной h3 [13].

                                   4. Метод Рунге-Кутта

      Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
                                             y ′ = f ( x, y )
с начальными условиями y(x0)=y0. Выберем шаг h и для краткости введем
обозначения xi=x0+ih и yi=y(xi), (i=0,1,2, ).
   В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-
Кутта. Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчет-
ных формул:
48

Страницы