Математические методы в географии. Гриценко В.А - 52 стр.

где
                  ⎡ y1 ⎤                          ⎡ y1′ ⎤                ⎡ f1 ⎤
                y=⎢ M ⎥                      y′ = ⎢ M ⎥              f = ⎢ M ⎥.
                  ⎢ ⎥                             ⎢ ⎥                    ⎢ ⎥
                  ⎣⎢ yn ⎦⎥                        ⎣⎢ yn′ ⎦⎥              ⎣⎢ f n ⎦⎥
    Под решением системы (11) понимается любая совокупность функций
(y1(x), y2(x), ,yn(x)), которая, будучи подставлена в уравнения (11), обра-
щает их в тождества. Так как система дифференциальных уравнений имеет
бесчисленное множество решений, то для выделения одного конкретного
решения y = y ( x ) кроме уравнения нужны дополнительные условия. В
простейшем случае задаются начальные условия
                                            y ( x0 ) = y (0 ) ,                      (12)
что приводит к задаче Коши.
   Задача Коши. Найти решение
                                              y = y(x )
системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям (12), где х0
– фиксированное значение независимой переменной и
                                                     ⎡ y1(0 ) ⎤
                                                     ⎢ ⎥
                                           y (0 )   =⎢ M ⎥
                                                     ⎢⎣ y n(0 ) ⎥⎦

– данная система чисел.
    Если х интерпретировать как время, а у1,       уn – как обобщенные коор-
динаты некоторой механической системы, то получим следующий аспект
задачи Коши: зная дифференциальные уравнения, управляющие механиче-
ской системой, а также состояние ее в начальный момент времени х0, опре-
делить состояние системы в любой момент времени х.
    Задавшись некоторым шагом h и введя стандартные обозначения
xi=x0+ih и yi=yi(x),Δyi=yi+1-yi при i=0,1,2, , положим:
                             ⎧k1(0 )    = hf ( x0 , y0 ),
                             ⎪                ⎛       h     k1(0 ) ⎞
                             ⎪k 2(0 )   = hf ⎜⎜ x0 + , y0 +         ⎟,
                             ⎪                ⎝       2      2 ⎟⎠
                             ⎪
                             ⎨ (0 )           ⎛       h     k 2(0 ) ⎞                (13)
                             ⎪k 3       = hf ⎜⎜ x0 + , y0 +         ⎟,
                                              ⎝       2      2 ⎟⎠
                             ⎪
                             ⎪k ( 0 )         ⎛       h            ⎞
                                        = hf ⎜ x0 + , y0 + k 3(0 ) ⎟.
                             ⎪⎩ 4             ⎝       2            ⎠

50