Математические методы в географии. Гриценко В.А - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

49
()
(
)
()
()
()
()
() ()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅=
⋅=
.,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,,
31
2
1
1
1
1
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
i
ii
i
ky
h
xfhk
k
y
h
xfhk
k
y
h
xfhk
yxfhk
(9)
Последовательные приближения y
i
искомой функции y определяются
по формуле:
iii
yyy
Δ
+
=
+1
,
где (10)
() () () ()
()
iiii
i
kkkky
4321
22
6
1
+++=Δ , (i = 0,1,2,...).
Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна пя-
той степени шага (h
5
). Отсюда, в частности, следует, что при достаточно
малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения (1), полу-
ченное методом Рунге-Кутта по формулам (9), будет близким к точному.
Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетны-
ми формулами (9) состоит в следующем. Из точки (x
i
,y
i
) сдвигаются в на-
правлении, определяемом углом
α
1
, для которого tg
α
1
=f(x
i
,y
i
). На этом на-
правлении выбирается точка с координатами (x
i
+h/2, y
i
+k
1
/2). Затем из точ-
ки (x
i
,y
i
) сдвигаются в направлении, определяемом углом
α
2
, для которого
tg
α
2
=f(x
i
+h/2, y
i
+k
1
/2), и на этом направлении выбирается точка с коорди-
натами (x
i
+h/2, y
i
+k
2
/2). Наконец, из точки (x
i
,y
i
) сдвигаются в направлении,
определяемом углом
α
3
, для которого tg
α
3
=f(x
i
+h/2, y
i
+k
2
/2), и на этом на-
правлении выбирается точка с координатами (x
i
+h, y
i
+k
3
). Этим задается
еще одно направление, определяемое углом
α
4
, для которого tg
α
4
=f(x
i
+h,
y
i
+k
3
). Четыре полученных направления усредняются в соответствии с по-
следней из формул (9). На этом окончательном направлении и выбирается
очередная точка (x
i+1
,y
i+1
)= (x
i
+h,y
i
+
Δ
y).
5.Численное интегрирование систем
обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод Рунге-Кутта применяется также для приближенного решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть, например, да-
на система дифференциальных уравнений:
(
)
yxfy ,
=
′
, (11) 
                     ⎧k1(i ) = h ⋅ f ( xi , yi ),
                     ⎪                ⎛        h          k1(i ) ⎞
                         (i )
                     ⎪k1 = h ⋅ f ⎜⎜ xi + , yi +                  ⎟⎟,
                     ⎪                ⎝        2           2      ⎠
                     ⎪                                      (i )
                     ⎨ (i )           ⎛        h          k2 ⎞       (9)
                       k      = h ⋅ f ⎜ x   +
                                      ⎜ i 2 i     , y   +        ⎟ ,
                     ⎪ 1
                                      ⎝                    2 ⎟⎠
                     ⎪
                     ⎪k (i ) = h ⋅ f ⎛⎜ x + h , y + k (i ) ⎞⎟.
                     ⎪⎩ 1             ⎝
                                          i
                                               2
                                                      i    3
                                                                 ⎠
   Последовательные приближения yi искомой функции y определяются
по формуле:
                               yi +1 = yi + Δyi ,
где                                                                     (10)

               Δy i =   (k1 + 2k2(i ) + 2k3(i ) + k4(i ) ) , (i = 0,1,2,...).
                      1 (i )
                      6
    Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна пя-
той степени шага (h5). Отсюда, в частности, следует, что при достаточно
малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения (1), полу-
ченное методом Рунге-Кутта по формулам (9), будет близким к точному.
    Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетны-
ми формулами (9) состоит в следующем. Из точки (xi,yi) сдвигаются в на-
правлении, определяемом углом α1, для которого tgα1=f(xi,yi). На этом на-
правлении выбирается точка с координатами (xi+h/2, yi+k1/2). Затем из точ-
ки (xi,yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом α2, для которого
tgα2=f(xi+h/2, yi+k1/2), и на этом направлении выбирается точка с коорди-
натами (xi+h/2, yi+k2/2). Наконец, из точки (xi,yi) сдвигаются в направлении,
определяемом углом α3, для которого tgα3=f(xi+h/2, yi+k2/2), и на этом на-
правлении выбирается точка с координатами (xi+h, yi+k3). Этим задается
еще одно направление, определяемое углом α4, для которого tgα4=f(xi+h,
yi+k3). Четыре полученных направления усредняются в соответствии с по-
следней из формул (9). На этом окончательном направлении и выбирается
очередная точка (xi+1,yi+1)= (xi+h,yi+Δy).

                 5.Численное интегрирование систем
             обыкновенных дифференциальных уравнений

    Метод Рунге-Кутта применяется также для приближенного решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть, например, да-
на система дифференциальных уравнений:
                                 y ′ = f ( x, y ) ,                      (11)
                                                                          49

Страницы