Составители:
Рубрика:
8
Следствие 2.1. Из (2.2) следует, что для ПО матрицы A необ-
ходимо и достаточно положительности ее собственных чисел, а
для ППО – их неотрицательности. ♣
Если обозначить через m положительную оценку снизу для
Eig(A) и через M – оценку сверху для EIG(A), то имеет место сле-
дующая система неравенств, определяющая ПО квадратичной
формы:
2
≤ xxm
T
Ax
.0,
2
>≤ mxM
(2.3)
Теорема 2.2. Пусть f
(x) – дважды дифференцируема, т. е.
f (x)
()
n
RC
2
∈
. Для того чтобы функция f (x) была выпуклой, не-
обходимо и достаточно, чтобы ее матрица вторых производных
()
xf
′′
была ППО. ♣
Таким образом, квадратичная функция (2.1), для которой вы-
полняется (2.3), является выпуклой. Ее производные вычисляют-
ся по формулам
()
xf =
′
Ax + b и
()
Axf =
′′
, поэтому имеет место
следующая теорема.
Теорема 2.3. Если матрица A – ПО, то квадратичная функция
(2.1) имеет в R
n
единственную точку минимума x
*
, удовлетво-
ряющую системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Ax
*
+ b = 0.
29
Очевидно, что сходимость достигается за гораздо большее ко-
личество шагов (рис. 7.18).
Рис. 7.18
2. МПКС
В МПКС используется антиградиент, но само направление
спуска принципиально другое, а именно: за направление спуска
берутся координатные оси. Иначе вычисляется и шаг спуска. За
исключением этих двух переменных все остальные сохраняют те
же формулы, что и для МНГС (рис. 7.19 и 7.20).
Рис. 7.19
Рис. 7.20
Окончательный результат имеет вид, как на рис. 7.21.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
