Составители:
Рубрика:
30
Рис. 7.21
Аналогично получаем решение примера 3.2 (рис. 22П).
Рис. 7.22
3. МСГ
Для МСГ будем использовать ту же схему решения, что и в
МПКС. Изменится лишь формула в диапазонах, соответствую-
щих направлению спуска p
k
(рис. 7.23 и 7.24).
Рис. 7.23
7
2. СВОЙСТВА
КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Определение 2.1. Квадратичная функция есть сумма квадра-
тичной формы x
T
Ax, линейной формы b
T
x и константы:
()
xxf
T
=
2
1
Ax
cxb
T
++
, (2.1)
где A – симметричная матрица порядка n,
n
Rb ∈
,
1
Rc ∈
.
Определение 2.2. Квадратичная форма x
T
Ax и матрица А на-
зываются положительно определенными (ПО), если
x
T
Ax > 0
при любом
0≠x
. Если же
∀ xx
T
Ax > 0, то они положительно
полуопределены (ППО). ♣
Поведение квадратичной формы можно определить собствен-
ными числами матрицы А.
Определение 2.3. Если выполнены условия Ax
xλ=
, где
λ – число и
0≠x
, то столбец x называется собственным векто-
ром матрицы A. Скаляр λ называется собственным числом ма-
трицы A. ♣
Полный набор всех собственных чисел матрицы A будем обозна-
чать через Eig(A), наибольшее собственное число – через EIG(A),
наименьшее – через
()
Aeig
. Собственные числа удовлетворяют
уравнению
0=λ− EA
, т. е. Eig(A) есть набор из n корней харак-
теристического полинома
EA λ−
степени n, где E – единичная
матрица размерности n × n.
Теорема 2.1. Если матрица A симметрична, то из ее соб-
ственных векторов можно построить ортонормированный базис
()
n
eeS ,,
1
K=
,
niEe
n
i
,1, =∈
, в котором квадратичная форма
имеет вид
x
T
Ax = (y
1
, ... , y
n
) diag [Eig(A)]
,
1
2
1
∑
=
λ=
n
i
ii
n
y
y
y
K
(2.2)
где
()[]
AEigdiag
– диагональная матрица, по главной диагонали
которой находятся собственные числа матрицы А. При этом, если
из векторов e
i
составить матрицу S, то x = Sy, где
()
T
n
yyy ,,
1
K=
,
y
i
– координаты вектора x в ортонормированном базисе S, а
()[]
SA
T
=Eigdiag
AS.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
