Составители:
Рубрика:
44 45
Совместные действия игроков коалиции S (обозначим ее игроком 1)
означают, что множество стратегий коалиции
S
– это всевозможные ком-
бинации стратегий игроков коалиции
S
, т. е. это элементы декартова про-
изведения:
.
Si
iS
XX
Выигрыш коалиции
S
есть сумма выигрышей игроков из S:
,
¦
Si
iS
xHxH
где
nN
xxxXx ...,,,
1
– ситуация в игре
G
.
Если (в худшем для коалиции
S
случае) оставшиеся игроки из
S
N
\
объединились в коллективного игрока 2 с интересом, диаметрально про-
тивоположным коалиции
S
, и с множеством стратегий
SNi
iSN
XX
\
\
,
то выигрыш игрока 2 в ситуации х равен –
xH
S
.
Тогда наибольшим гарантированным выигрышем коалиции S
является наибольший гарантированный выигрыш коалиции S в АИ
SSNSS
HXXG ,,
\
.
Таким образом, в игре
S
G
коалиция
S
выбирает свою стратегию
SS
Xx
. Если игра конечна, то для любого
S
существует NE в смешан-
ных стратегиях.
Утверждение 4.1. В смешанном расширении
SSNSS
HXXG ,,
\
игры
S
G
гарантированный выигрыш
Sv
коалиции S может разве лишь
увеличиться по сравнению с выигрышем в игре
S
G
.
Замечание 4.1. В дальнейшем будем рассматривать смешанное рас-
ширение игры
S
G
.
Покажем, что функция
Sv
является характеристической функци-
ей бескоалиционной игры. Для этого достаточно показать, что функция
Sv
супераддитивна, т. е.
,
2121
SvSvSSv t
21
SS
.
Лемма 4.1 (о супераддитивности). Для бескоалиционной игры
^` ^`
N
i
i
N
i
i
HXNG
,,
построим функцию
,,,minmax
\
\
NSxxHSv
SNSS
x
x
SN
S
(4.2)
где
SSNSSSNSNSS
HXXGXxXx ,,;,
\\\
– смешанное расши-
рение АИ
S
G
. Тогда для всех
NSS
21
,
, для которых
21
SS
, име-
ет место неравенство (4.1).
Доказательство. Найдем
21
SSv
. Теорема об условии существо-
вания NE в чистых стратегиях
vv
может быть сформулирована дос-
ловно для смешанной стратегии. В смешанных стратегиях ситуация рав-
новесия всегда существует, а значение игры
¦¦¦¦
K[D K[D
6
66
6
ij
jiij
x
y
ij
jiij
y
x
v
I
IIII
I
maxminminmax
и именно максминная и минимаксная стратегии образуют ситуацию рав-
новесия в смешанных стратегиях:
...,,min,,minmax
,,,,minmax
,...,minmax
2
1
21
1
1
21
21
minmin
12
11
21
21
21
1
21
\
21
21
t
»
¼
º
«
¬
ª
t
t
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
¦¦
¦¦
¦
¦
t
¦
Si
ni
SSN\
Xx
Si
ni
SSN\
Xx
SS
Xx
SiSi
nini
SSN\
Xx
SS
Xx
SSi
ni
SSN
Xx
SS
Xx
x...xHx...xH
x...xHx...xH
xxHSSv
Поясним последнее неравенство. Игроки коалиции
21
SSN\
выбирают такие стратегии, при которых суммы выигрышей игроков
коалиций
1
S
и
2
S
соответственно, т. е.
¦
1
Si
i
xH
и
¦
2
Si
i
xH
, минимальны,
где
n
xxx ,...,
1
. А так как минимум по множеству будет не больше
минимума по его подмножеству, т. е.
xfxf
N\SSSN\
XxXx
121
minmin
t
и
xfxf
N\SSSN\
XxXx
221
minmin
t
, то справедливо продолжение
неравенства:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
