Составители:
Рубрика:
46 47
t
t
»
¼
º
«
¬
ª
t
¦¦
¦¦
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
21
,,minmax,,minmax
,,min,,minmax...
Si
ni
N\S
Xx
S
Xx
Si
ni
N\S
Xx
S
Xx
Si
ni
N\S
Xx
Si
ni
N\S
Xx
SS
Xx
x...xHx...xH
x...xHx...xH
,
21
SvSv
где
i
x
– смешанная стратегия игрока
i
.
Заметим, что для каждой бескоалиционной игры, построенной
выше,
0 v
. Действительно, по определению,
¦
i
i
xHxH
,
но последняя сумма не содержит слагаемых, откуда
xH
тождес-
твенно равно нулю, поэтому и
0 v
.
Замечание 4.2. Если значение игры существует, то минимакс супер-
макс может не являться супераддитивным.
Определение 4.4. Бескоалиционная игра
^` ^`
N
i
i
N
i
i
HXNG
,,
называется игрой с постоянной суммой, если
.const
¦
N
i
iN
N
i
i
XXxcxH
Лемма 4.2. Пусть G – бескоалиционная игра с постоянной суммой,
функция
NSSv ,
, определена, как в лемме 4.1, а игры
NSG
S
,
,
имеют значения в смешанных стратегиях. Тогда
.,\ NSSNvSvNv
Доказательство. Из определения игры с постоянной суммой
получаем, что
cHxHNv
N
i
i
N
i
i
P
¦¦
для всех ситуаций
P
в смешанных стратегиях. С другой стороны,
,\,supinf
,infsup,infsup
\
\
\
\\
\
\\
¦
¦¦
P
Q
P
P
P
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
P P
SNi
SNSi
v
SNi
SNSi
Si
SNSi
v
SNvcvHc
vHcvHSv
S
SN
SN
S
SN
S
что и требовалось доказать.
4.2. ДОМИНИРОВАНИЕ ДЕЛЕЖЕЙ
Из супераддитивности v получаем, что для любых непересекаю-
щихся коалиций
NSS
k
,...,
1
.
1
¦
d
k
i
i
NvSv
Отсюда, в частности, следует, что не существует такого разбиения
множества N на коалиции, чтобы суммарный гарантированный выигрыш
этих коалиций превышал максимальный выигрыш всех игроков
Nv
.
Возникает проблема «оптимального» дележа: как разделить
Nv
?
Основная задача кооперативной теории игр п лиц заключается в постро-
ении реализуемых принципов оптимального распределения максималь-
ного суммарного выигрыша
Nv
между игроками.
Определение 4.5. Вектор
n
DD D ,,
1
называется дележомм в
кооперативной игре, если выполняются следующие условия:
1)
;Nv
Ni
i
D
¦
(4.3)
2)
^`
,,1, Niiv
i
tD (4.4)
где
^`
iv
– значение характеристической функции для одноэлементной
коалиции
^`
iS
.
Условие (4.3), называемое условием коллективной рациональности
(КР) или оптимальности по Парето, означает, что вектор
D
является
допустимым и все участники этой игры получат в сумме максимально
возможный выигрыш, так как в случае
¦
D
N
i
i
Nv
существует
распределение
D
c
, при котором каждый игрок
N
i
получит больше, чем
его доля
i
D
, если же
¦
!D
N
i
i
Nv
, то о игроки из N делят между собой
нереализуемый выигрыш, поэтому вектор
D
неосуществим.
Условие (4.4) называется условием индивидуальной рационально-
сти (ИР) и означает, что ни один игрок не согласится получить меньше,
чем то, что он может обеспечить себе сам, независимо от действий дру-
гих игроков, т. е. в коалиции каждый игрок получит, по меньшей мере,
столько, сколько он мог бы получить, действуя самостоятельно.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
