Составители:
Рубрика:
50 51
где C – C-ядро кооперативной игры
vN,
.
Количество всех подмножеств множества N равно
1
2
N
, поэтому
количество неравенств (4.5) такое же.
Доказательство. Обозначим ядро через С.
Необходимость. Пусть
,,...,
1
C
n
DD D
но не выполняется (4.5).
Следовательно, существует хотя бы одна коалиция
SvS
Si
i
c
D
c
¦
c
:
, т. е.
можно найти дележ
E
, который будет доминировать
D
.
Действительно, построим дележ
:E
,
\
SvNvSv
S
N
i
i
Si
i
c
E
c
E
¦¦
c
c
,
т. е. к каждому из
i
D
добавим число
J
, где
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
D
c
c
J
¦
c
Si
i
Sv
S ||
1
. Тогдада
JD E
ii
для
S
i
c
. По определению дележа должно выполняться
^`
iv
i
tD
, но
i
D
для коалиции
S
N
c
\
должно быть минимальным,
так как получено в процессе игры коалиции
S
c
против коалиции
S
N
c
\
.
Поэтому для
S
N
i
c
\
имеем
^`
iv
i
D
, а следовательно,
^`
^`
^`
.
\
–
Z
c
c
E
¦
c
iv
SN
ivS vNv
iv
S N\i
i
Из-за супераддитивности функции
^`
¦
c
c
t
S N
\
i
ivS vNv
получаем, что
^`
iv
i
tEtZ ,0
.
Покажем, что не зависит от i:
^` ^` ^`
c
Z E
¦¦¦¦¦
c
c
c
c
c
SN\iS N\i SN\iSN\iS N\i
i
ivSvNviviv
,SvNv
c
что дает нам два свойства:
1)
EE E
¦¦¦
c
c
S
N
i
i
Si
i
N
i
i
\
;NvSvNv
S
Sv
S
Si
i
Si
i
c
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
©
§
c
D
c
c
D
¦
¦
c
c
2)
^`
Siiv
ii
c
tD!E
, по предположению.
Следовательно, мы нашли
DE
c
S
, что противоречит недомини-
руемости дележа
D
.
Достаточность. Пусть выполняется условие (4.5), но
CD
, т. е.
существует дележ
DE
. Тогда
DE
S
, следовательно:
1)
;, Si
ii
D!E
2)
¦
dE
Si
i
Sv
, но это противоречит (4.5), так как
SvSv
Si
i
Si
i
dEDd
¦¦
, следовательно, все дележи из (4.5)
недоминирующие.
Минимальным требованием для получения согласия игроков выб-
рать вектор
D
является его ИР, т. е. условие
^`
Niiv
i
tD ,
. Пусть иг-
роки договариваются о выборе конкретного дележа
D
.
Против выбора дележа может возражать некоторая коалиция S, тре-
бующая для себя более выгодного распределения, угрожая в противном
случае нарушить общую кооперацию по достижению дохода
Nv
. Пред-
положим, что все остальные игроки
S
N
\
реагируют на угрозу объеди-
ненными действиями против коалиции S. Тогда максимальный гаранти-
рованный доход коалиции S оценивается числом
Sv
.
Существование стабилизирующей угрозы со стороны коалиции
S
N
\
в адрес коалиции S обеспечивается условием (4.5), поэтому С-яд-
ром игры
vN,
является множество устойчивых, в смысле коалицион-
ных угроз, распределений максимального суммарного дохода
Nv
.
Следствие 4.1. С-ядро является замкнутым выпуклым подмножеством
множества всех дележей.
Таким образом, С-ядро представляет собой множественный прин-
цип оптимальности, хотя и один из основных в кооперативной теории.
Всегда остается открытым вопрос, какой все-таки дележ С-ядра необхо-
димо выбрать из множества в конкретном случае. С-ядро может оказать-
ся также пустым.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
