Составители:
Рубрика:
54 55
Занятие № 5. ДРУГИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ.
НМ-РЕШЕНИЕ И ВЕКТОР ШЕПЛИ
5.1. ИГРА В
10
-РЕДУЦИРОВАННОЙ ФОРМЕ
Определение 5.1. Игра
vN,
называется игрой в
10
-
редуцированной форме, если для всех
N
i
выполняется
^`
.1,0 Nviv
Теорема 5.1. Каждая существенная кооперативная игра эквивален-
тна некоторой игре в
10
-редуцированной форме.
Доказательство. Пусть
,
¦
c
Si
i
cSkvSv
где
^`
^`
^`
.;0
1
¦¦
!
Ni
i
Ni
ivNv
iv
c
ivNv
k
Тогда
^`
^`
.
¦
¦
c
Ni
Si
ivNv
ivSv
Sv
(5.1)
Следовательно,
^`
1,0
c
c
Nviv
, ч. т. д.
Из теоремы следует, что существует
10
-нормализация, соответ-
ствующая функции
v
.
Определение 5.2. Дележом в игре в
10
-редуцированной фор-
ме называется любой вектор
n
DD D ,...,
1
, компоненты которогоо
удовлетворяют условиям
,1,,0
¦
DtD
N
i
ii
Ni
т. е. дележи можно рассматривать как точки
1n
-мерного симплекса,
порожденного ортами
,,1,0...,,0,1,0...,,0 nj
jj
Z
пространства
n
R .
Утверждение 5.1. Для того чтобы С-ядро было не пусто в игре трех
лиц в
10
-редуцированной форме, где
,3,2,)3,1(,2,1
123
cvcvcv
,3,1,10 dd ic
i
необходимо и достаточно выполнение условия
.2
321
d ccc
(5.2)
Доказательство. Необходимость. Пусть
,zC
но
.2
321
! ccc
На основании теоремы 4.1, чтобы
CD
, необходимо и достаточно вы-
полнение следующих неравенств:
132231321
,, ccс tDDtDDtDD
или
.1,1,1
112233
ccc dDdDdD
(5.3)
Складываем неравенства (5.3), получаем
.3
321321
ccc dDDD
Поскольку
,1
321
DDD
то следует выполнение неравенства (5.2), чтоо
противоречит предположению.
Достаточность. С другой стороны, пусть
, C
но выполняется
неравенство (5.2), тогда существуют такие неотрицательные
321
,, [[[
,
что
.3,1,1,2)(
3
1
d[ [
¦
icс
i
iiii
Пусть
.3,1,1 [ E ic
iii
Числа
i
E
удовлетворяют неравенствамам
(5.3), следовательно, дележ
CEEE E
321
,,
, откуда верно, что
,zC
ч. т. д.
Геометрической интерпретацией дележей в рассматриваемой
игре является D АВС:
,1
321
DDD ,0tD
i
3,1 i
(рис. 5.1).
3
D
B (0, 0, 1)
2
D
1
D
C (1, 0, 0)
A (0, 1, 0)
a
1
a
2
a
3
0
Рис. 5.1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
