Теория игр. Часть 2. Кооперативные игры и игры в позиционной форме. Григорьева К.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

56 57
Непустое С-ядро представляет собой пересечение множества деле-
жей (D АВС) и выпуклого многогранника (параллелепипеда)
.3,1,10 dDd iс
ii
На рис. 5.1 через 3,1, D i
i
обозначены прямые,
образованные пересечением плоскостей
ii
c D 1
(5.4)
и
1
321
DDD
. Точка пересечения двух прямых
i
D
и
j
D
принадлежит
D АВС, если k-я

jkik zz ,
координата этой точки неотрицательная,
в противном случае она находится за пределами D АВС (рис. 5.2, 5.3).
Таким образом, С-ядро имеет вид треугольника, если совместное
решение любой пары уравнений (5.4) и уравнения
1
321
DDD
со-
стоит из неотрицательных чисел. Это требование выполняется при
.1,1,1
323121
ttt cccccc
(5.5)
B (0, 0, 1)
3
D
2
D
1
D
A (0, 1, 0)
C (1, 0, 0)
B (0, 0, 1)
3
D
2
D
1
D
C (1, 0, 0)
A (0, 1, 0)
Рис. 5.2 Рис. 5.3
В зависимости от разных случаев (а всего их может быть восемь)
С-ядро будет приобретать тот или иной вид. Например, если не выполня-
ется одно из трех неравенств (5.5), то С-ядро оказывается шестиугольни-
ком (см. рис. 5.3).
Для общей игры трех лиц можно доказать аналогичное утверждение.
Утверждение 5.2. С-ядро имеет вид треугольника
, если выполня-
ются условия
  
.,,
132231321
vNvccvNvccvNvcc ttt
(5.6)
5.2. НМ-РЕШЕНИЕ
Хотя элементы С-ядра и не доминируются никакими другими деле-
жами, нельзя утверждать, что для любого наперед заданного дележа
D
найдется в С-ядре дележ доминирующий
D
.
Определение 5.3. Подмножество дележей М называется НМ-ре-
шением (решением Ноймана – Моргенштерна), если никакие два де-
лежа внутри множества М не доминируют друг друга, а любой дележ вне –
доминируем дележом из множества М, т. е.:
1)
,
векторы
21
MDD
справедливо
1221
, D
DD
D
;
2)
.: EDDE
M
M
Определение 5.4. Подмножество дележей М кооперативной игры

vN,
называется НМ-решениемм, если выполняются следующие усло-
вия:
1) из
E!D
следует, что либо
M
D
, либо
M
E
(внутренняя ус-
тойчивость);
2) для любого
M
D
M
E
, что о
DtE
(внешняя устойчивость).
В случае, если С-ядро не пусто и НМ-решение существует
(рис. 5.4), соотношение С-ядра и НМ-решения выражается следующим
далее утверждением.
Утверждение 5.3. НМ-решение содержит С-ядро.
НМ
C
Рис. 5.4

Страницы