Составители:
Рубрика:
58 59
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
D
,С
M
C
DEE
D
::
M
M
, но
D
не доминируем, так как
CD
.
Замечание 5.1. НМ-решение, как и С-ядро, является множествен-
ным принципом оптимальности. Так как НМ-решение содержит С-ядро,
то предполагается, что оно не пустое. Однако можно построить игру из
10 лиц:
+0
.
Задача. Построить игру из 10 лиц, чтобы для нее НМ-решение
было пустое.
Теорема 5.2. Если для характеристической функции игры
vN,
в
10
-редуцированной форме
nN выполняются неравенстваа
,
1
1
NS
Sn
Sv
d
(5.7)
где
S – число игроков в коалиции S, то С-ядро этой игры не пустоее
и является ее НМ-решением.
Замечание 5.2. Обратное неверно. Это достаточное условие, но не
необходимое. Если условие (5.7) выполняется, то
zC
и
HM C
. Если
(5.7) не выполняется, то:
1) если
C
, то
H
M
;
2) если
zC
, то С-ядро не является НМ-решением.
Доказать!
Определение 5.5. Игра
vN ,
в
10
-редуцированной форме на-
зывается простой, если для любых
SvNS
принимает лишь одно из
двух значений: 0 или 1.
Определение 5.6. Кооперативная игра называется простой, если
проста ее
10
-редуцированная форма.
Пример 5.1. Рассмотрим простую игру трех лиц в
10
-редуци-
рованной форме, в которой коалиция, состоящая из двух и трех игроков,
выигрывает
1 Sv
, а коалиция, включающая только одного игрока,
проигрывает
^`
0 iv
. Для этой игры рассмотрим три дележа:
,2/1;2/1;0,2/1;0;2/1,0;2/1;2/1
231312
D D D
(5.8)
не доминирующих друг друга. Кроме того, любой другой дележ домини-
руется одним из этих дележей
ij
D
. Проверим этот факт..
Рассмотрим произвольный дележ
321
;; DDD D
. Так как игра
в
10
-редуцированной форме, то
0tD
i
и
1
321
DDD
, следова-а-
тельно, не может быть более двух компонент вектора
D
:
21tD
i
. Если
их действительно две, то каждая из них равна
21
, в то время как третья
равна нулю. Но это означает, что
D
совпадает с одним из
ij
D
. Если жее
ij
DzD
, то он имеет не более одной компоненты, например
i
D
и
j
D
,
где ji , не меньшей, чем
21
. Но в этом случае
D!D
ij
. Таким образом,ом,
три дележа (5.8) образуют НМ-решение. Но это не единственное НМ-
решение.
Пусть
>@
210,c
. Проверим, что множествоо
^`
cacacaL
c
dd 10,1,
,3
также является НМ-решением. Действительно, в это множество входят
дележи, при которых игрок 3 получает постоянную с, а игроки 1 и 2 де-
лят остаток во всевозможных пропорциях.
Внутренняя устойчивость следует из того, что для любых дележей
D
и
E
из этого множества имеем, если
11
E!D
, то о
22
ED
. Однако доми-
нирование по коалиции, состоящей из единственного участника, невоз-
можно.
Чтобы доказать внешнюю устойчивость
c
L
,3
, возьмем какой-либо
дележ
c
L
,3
E
. Это означает, что либо
c!E
3
, либо
cE
3
. Пусть, напри-
мер,
H E c
3
. Определим дележ
D
следующим образом:м:
.,2/,2/
32211
c DHE DHE D
Тогда
c
L
,3
D
и
EtD
по коалиции
^`
2,1
.
Пусть теперь
c!E
3
. Тогда либо
2/1
1
dE
, либо
2/1
2
dE
(так какак
в противном случае их сумма была бы больше 1). Пусть
2/1
1
dE
. Поло-
жим
cc ,0,1 D
. Так как
1
2/11 Et! c
, то о
EtD
по коалиции
^`
3,1
.
Очевидно, что
c
L
,3
D
. Если же
2/1
2
tE
, то можно показать аналогич-
но, что
EtJ
, где
cc,1,0 J
.
Таким образом, кроме симметричного НМ-решения, рассматрива-
емая игра имеет еще целое семейство решений, при которых игрок 3 по-
лучает фиксированное значение с из отрезка
2/10 d c
. Эти НМ-реше-
ния называются дискриминирующими, а игрок 3 дискриминирован.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
