Избранные задачи аэроупругости. Гришанина Т.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
1.2. Точное решение
Получим точное решение сформулированных выше задач в
принятой здесь постановке на модельном примере, считая геометри-
ческие (
b, e, σ ), массовые (m) и упругие (
кр
GJ ) характеристики
крыла постоянными.
Тогда уравнение (1.4) записывается в виде
0)(
0
22
=µ+ακ+ϕκ+ϕ
′′
y
n
, (1.8)
где
кр
2
GJ
eqbc
y
α
=κ
;
eqbc
mg
y
α
σ
=µ
. (1.9)
Общее решение уравнения (1.8) имеет вид
)(cossin)(
021
µ
+
α
−κ+κ
=
ϕ
y
nzCzCz .
Произвольные постоянные определяются из граничных усло-
вий (1.5):
y
nC
µ
+
α
=
02
;
к01
tg)( lnC
y
κ
µ
+α= .
Тогда угол закручивания крыла и действующая на него соглас-
но (1.1) аэродинамическая нагрузка определяются как
]1)()[()(
0
−
Φ
µ
+
α=ϕ znz
y
; (1.10)
]1)()([)(
0
−Φµ+Φα=
α
znzqbczY
yy
, (1.11)
где
zzlz κ+κ
κ
=
Φ cossintg)(
к
. (1.12)
Выражения (1.10), (1.11) представляют решение задачи первого
8
типа (
0
α
– задан,
y
n – известно). В этом случае, как видно из выра-
жения (1.12),
∞
→
Φ
)(z при
∞
→
κ
к
tg l и 2
к
π
=
κ
l , т.е. крыло ста-
новится статически неустойчивым. Это явление называется дивер-
генцией. Критический скоростной напор дивергенции неподвижно
закрепленного крыла с учетом формулы (1.9) для
2
κ
находим из ус-
ловия
4
22
к
2
π=κ l :
elbc
GJ
q
y
2
к
кр
2
див
4
α
π
= . (1.13)
Необходимо, чтобы
див
qq
<
Далее рассмотрим задачу второго типа для свободного самоле-
та в полете (
y
n – задано,
0
α
– неизвестно).
Используя выражение (1.6) с учетом (1.11), (1.12), определяем
суммарную подъемную силу самолета:
)]([2
к0
lLnLqbcY
kyky
−µ+α=
α
Σ
, (1.14)
где
к
0
tg
1
)(
к
ldzzL
l
k
κ
κ
=Φ=
∫
. (1.15)
Используя формулы (1.7) и (1.14), находим
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
κ
κ
σ
+µ=α 1
tg
)1(
к
к
кр
0
l
le
G
G
n
y
, (1.16)
где
ккр
2mglG
=
– вес крыла.
Выражения для угла закручивания и погонной подъемной силы
крыла (1.10), (1.11) с учетом (1.16) могут быть записаны в виде 
                              1.2. Точное решение                           типа ( α 0 – задан, n y – известно). В этом случае, как видно из выра-
      Получим точное решение сформулированных выше задач в                  жения (1.12), Φ ( z ) → ∞ при tg κlк → ∞ и κlк = π 2 , т.е. крыло ста-
принятой здесь постановке на модельном примере, считая геометри-            новится статически неустойчивым. Это явление называется дивер-
ческие (b, e, σ ), массовые (m) и упругие ( GJ кр ) характеристики          генцией. Критический скоростной напор дивергенции неподвижно
крыла постоянными.                                                          закрепленного крыла с учетом формулы (1.9) для κ 2 находим из ус-
      Тогда уравнение (1.4) записывается в виде                             ловия κ 2lк2 = π2 4 :

                    ϕ′′ + κ 2ϕ + κ 2 (α 0 + µn y ) = 0 ,            (1.8)                                      π2 GJ кр
                                                                                                      qдив =                .                 (1.13)
                                                                                                               4 bc αy lк2e
где

                         qbc αy e              mgσ                          Необходимо, чтобы q < qдив
                  κ2 =              ;   µ=             .            (1.9)
                         GJ кр                qbc αy e                            Далее рассмотрим задачу второго типа для свободного самоле-
                                                                            та в полете ( n y – задано, α 0 – неизвестно).
      Общее решение уравнения (1.8) имеет вид
                                                                                  Используя выражение (1.6) с учетом (1.11), (1.12), определяем
                 ϕ( z ) = C1 sin κz + C2 cos κz − (α 0 + n yµ) .
                                                                            суммарную подъемную силу самолета:
      Произвольные постоянные определяются из граничных усло-                              YΣ = 2qbc αy [α 0 Lk + µn y ( Lk − lк )] ,         (1.14)
вий (1.5):
                                                                            где
                   C2 = α 0 + µn y ; C1 = (α 0 + µn y ) tg κlк .
                                                                                                         lк
                                                                                                                         1
      Тогда угол закручивания крыла и действующая на него соглас-                                   Lk = ∫ Φ ( z )dz =     tg κlк .           (1.15)
                                                                                                          0
                                                                                                                         κ
но (1.1) аэродинамическая нагрузка определяются как
                                                                                  Используя формулы (1.7) и (1.14), находим
       ϕ( z ) = (α 0 + µn y )[Φ( z ) − 1] ;                        (1.10)                                ⎡                    ⎤
                                                                                                               G e κlк
                                                                                             α 0 = n y µ ⎢(1 +      )      − 1⎥ ,             (1.16)
       Y ( z ) = qbc αy [α 0Φ ( z ) + µn y Φ ( z ) − 1 ] ,         (1.11)                                ⎢⎣    Gкр σ tg κlк ⎥⎦

где                                                                         где Gкр = 2mglк – вес крыла.
               Φ ( z ) = tg κlк sin κz + cos κz .                  (1.12)         Выражения для угла закручивания и погонной подъемной силы
                                                                            крыла (1.10), (1.11) с учетом (1.16) могут быть записаны в виде
      Выражения (1.10), (1.11) представляют решение задачи первого

                                                                       7    8

Страницы