Составители:
53
Если в некоторый момент времени используется метод степени l
(например, в (3.28) k
1
=
l, k
2
=
l), то одновременно оценивается ло$
кальная погрешность методов степени 1 и 2. В дальнейшем применя$
ется тот метод, который при заданной точности позволяет интегри$
ровать с большим значением шага h.
Еще одно преимущество процедуры Гира в том, что она не требует
стартового алгоритма. Интегрирование начинается с методов первой
степени, а затем степень метода при необходимости изменяется в со$
ответствии с задаваемой пользователем точностью. Следует отме$
тить, что алгоритмы процедуры подвержены неустойчивости, кото$
рая проявляется в колебательном характере шага, принимающем то
разумные значения, то неприемлемо малые. Возникающие трудно$
сти можно исключить, уточняя соответствующие константы a
j
и b
j
эмпирическим путем.
Все рассмотренные методы являются скалярными, т. е. для каж$
дого уравнения системы (3.3) составляется соответствующее разно$
стное уравнение. Поэтому они обладают присущими скалярным ме$
тодам недостатками при применении их к системам большой размер$
ности. Качественно новым является создание системных (матрич$
ных) методов, которые позволяют учитывать свойства правой части
системы (3.3) и обеспечивают независимость выбора шага от устой$
чивости вычислительного процесса.
3.9. Задания для выполнения лабораторной работы № 3
Найти численное решение y(x) обыкновенного дифференциально$
го уравнения при заданных начальных условиях на отрезке [a, b] с
шагом h, используя заданный метод численного интегрирования
(табл. 3.1).
Найти аналитическое решение (вручную). В программе предус$
мотреть вычисление отклонения d численного решения от анали$
тического в точках вывода (шаг вывода взять равным h). Исследо$
вать связь между указанным отклонением и шагом интегрирова$
ния, для чего провести вычисления повторно при шаге h/4 и срав$
нить полученное отклонение
*
d с отклонением d. Результаты печа$
тать в виде таблиц значений x, y, d при шаге h и при шаге h/4 [7].
Эти методы будут изложены во второй части методических указа$
ний.
