Дискретная математика. Громов Ю.Ю - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11
2. ПОНЯТИЕ АЛГЕБРЫ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
Алгеброй А называется совокупность 〈 〉 множеств М и S:
A = 〈 M, S 〉,
где S = {o
11
, o
12
, ...,
1
1n
o
, o
21
, o
22
, ...,
2
2n
o
, ..., o
m1
, o
m2
, ...,
m
mn
o
} − множество
идентификаторов заданных в M операций, у которых первый символ ин-
декса обозначает их местность. При этом множество М называют носи-
телем, а множество S – сигнатурой алгебры А.
Рассмотрим фундаментальные алгебры. Алгебра вида 〈 M, o
2
〉 назы-
вается группоидом.
Если o
2
– операция типа умножения (×), то группоид называют
мультипликативным; если o
2
– операция типа сложения (+), то аддитив-
ным группоидом.
Рассмотрим группоид A = 〈 M, o
2
〉, при этом операцию o
2
обозначим
символом °. Тогда элемент e ∈ M называется правым нейтральным эле-
ментом группоида А = 〈 M, ° 〉, если для всякого m ∈ M выполняется ра-
венство m ° e = m; элемент e ∈ M называется левым нейтральным эле-
ментом группоида А, если для всех m ∈ M выполняется равенство
e ° m = m. В дальнейшем для краткости вместо слов «все» или «всякий»
будем использовать символ ∀. Если элемент e ∈ M группоида А является
одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют
двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным эле-
ментом группоида А. Никакой группоид не может иметь более одного
нейтрального элемента. Действительно, если
m ° e = e ° m = m и m ° e′ = e′ ° m = m
справедливо для ∀ m ∈ M, то
e′ = e′ ° e = e.
Нейтральный элемент мультипликативного группоида называется
единицей и обозначается символом 1, а нейтральный элемент аддитивно-
го группоида − нулём и обозначается символом 0.
Группоид 〈 M, ° 〉 называется идемпотентным группоидом, если его
сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности:
(∀ m ∈ M) (m ° m = m
).
Группоид 〈 M, ° 〉, сигнатура которого удовлетворяет закону комму-
тативности
(∀ x, y ∈ M) (x ° y = y ° x
),
называется коммутативным или абелевым группоидом.

Страницы