Дискретная математика. Громов Ю.Ю - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

12
Группоид 〈 M, ° 〉, в котором выполняется закон ассоциативности
(∀ x, y, z ∈ M) (x ° (y ° z) = (x ° y) ° z
),
называется ассоциативным группоидом или полугруппой.
Полугруппа 〈 M, ° 〉, в которой выполнимы обратные операции, т.е.
для любых a, b ∈ M каждое из уравнений a ° x = b, y ° a = b обладает
единственным решением, называется группой.
Проиллюстрируем понятие группы на примере группы подстано-
вок, которую исследовал французский математик Эварист Галуа
(1811 – 1832).
Рассмотрим три элемента x
1
, x
2
и x
3
, из которых существует шесть
перестановок: x
1
x
2
x
3
, x
1
x
3
x
2
, x
2
x
1
x
3
, x
2
x
3
x
1
, x
3
x
1
x
2
и x
3
x
2
x
1
. Записав две
какие-либо перестановки из трёх элементов друг под другом, получим
подстановку. Например:
.
132
321
xxx
xxx
Эта запись означает, что элемент x
1
переходит в элемент x
2
, элемент
x
2
− в элемент x
3
, x
3
− в x
1
.
Число возможных подстановок равно числу перестановок. Введём
следующие обозначения для шести возможных подстановок:
,,,
312
321
231
321
321
321
=
=
=
xxx
xxx
с
xxx
xxx
b
xxx
xxx
a
.,,
123
321
213
321
132
321
=
=
=
xxx
xxx
f
xxx
xxx
e
xxx
xxx
d
Определим двухместную операцию умножения над подстановками.
Произведением двух подстановок называется подстановка, получаемая в
результате последовательного выполнения сначала первой, а затем вто-
рой из перемножаемых подстановок. Например:
c × b =
312
321
xxx
xxx
×
231
321
xxx
xxx
=
213
321
xxx
xxx
= e.
Значения всех возможных произведений α × β определяет табл. 1.
В рассматриваемой алгебре подстановок выполняется закон ассо-
циативности, но не выполняется закон коммутативности.
Алгебра 〈 M, ×, + 〉, которая по умножению является ассоциативным
группоидом, а по сложению – абелевой группой, причём умножение свя-
зано со сложением законами дистрибутивности:
a × (b + c) = a × b + a × c,
(b + c) × a = b × a + c × a,
называется кольцом.

Страницы