Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

получается в пределе при бесконечно большом числе поколений и
имеет фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2 = 1,58 ...
Рис. 1.16 Построение ковра Серпинского. Затравка-квадрат,
а образующий элемент (слева) состоит из N = 8 квадратов,
полученных из затравки преобразованием подобия (сжатием)
с коэффициентом подобия r = 1/3. Справа: четвертый этап построения;
размерность подобия D = 1n 8 / 1n 3 = 1,89 ...
Кривые Серпинского использовались в качестве моделей многих физических явлений.
1.7 Еще о скейлинге
К обсуждению масштабной инвариантности, или скейлинга, часто бывает полезно подходить с дру-
гой точки зрения. Рассмотрим изображенную на рис. 1.8 кривую Коха как график некоторой функции
f
(t). Этот график представляет собой геометрическое место точек (x
1
, x
2
) плоскости, заданное соотно-
шением (x
1
, x
2
) = (t, f
(t)). Если λ = r = (1/3)
N
при N = 0, 1, 2, ... есть масштабный множитель, то триадная
кривая Коха обладает тем свойством, что
f(λt) = λ
α
f
(t)
с показателем α = 1. Заметим, что в случае кривой Коха функция f(t) неоднозначна. Тем не менее скей-
линговое соотношение выполняется для любой точки множества. Аналогичное построение применимо
и к функциям, заданным на всех положительных действительных числах. Например, степенная функция
f
(t) = bt
α
удовлетворяет соотношению однородности
f
(λt) = λ
α
f
(t) (1.12)
при всех положительных значениях масштабного множителя K. Функции, удовлетворяющие соотноше-
нию (1.12), принято называть однородными. Однородные функции играют очень важную роль в описа-
нии термодинамики фазовых переходов. Многое из того, что удалось достичь в последние годы в пони-
мании критических явлений вблизи фазовых переходов второго рода, укладывается в следующее ут-
верждение: критическая часть свободной энергии y таких систем удовлетворяет скейлинговому соот-
ношению
F
c
(λt) = λ
2 – α
F
c
(t). (1.13)
Здесь t = |T
c
– T| / T есть относительная температура, измеряемая от температуры фазового перехода
T
c
, а α в данном случае – критический показатель удельной теплоемкости. Выбирая λ так, чтобы выпол-
нялось равенство λt = 1 (такой выбор масштабного множителя допустим, поскольку соотношение (1.13)
выполняется при любом значении λ), получаем критическую часть свободной энергии в виде
F
c
(λt) = λ
2 – α
F
c
(t).
Из термодинамического определения теплоемкости C = –T∂
2
F / ∂t
2
следует, что при t → 0 удельная
теплоемкость ведет себя как С ~ t
–α
(такое поведение согласуется с экспериментальными данными).
Аналогичная скейлинговая зависимость описывает статистические свойства протекания, или перколя-
ции, вблизи порога протекания. Современная ренормгрупповая теория критических явлений объясняет,

Страницы