Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Фрактальная размерность D
в
= ln 8 / ln 3 = 1,89... .
Мандельброт и Гивен описывают также случайные варианты этой кривой
При построении этой кривой образующий элемент применялся в таких направлениях, чтобы углы полу-
чающейся ломаной не соприкасались между собой. Фрактальная размерность такой кривой без свобод-
ных («висячих») концов равна D
в
= ln 6 / ln 3 = 1,63..., так как образующий элемент заменяет каждый
прямолинейный отрезок N = 6 отрезками, уменьшенными (r = 1/3) копиями заменяемого отрезка. В
скольких местах можно перерезать ординарную (односвязную) связь, чтобы концы затравки оказались
разъединенными? Каждый раз, применяя образующий элемент, мы порождаем N = 2 односвязных свя-
зей, поэтому эти связи образуют множество точек с фрактальной размерностью
D
sc
= ln 2 / ln 3 = 0,63... .
Рис. 1.14 Построение кривой Мандельброта – Гивена без ветвей.
Эта кривая получена с помощью образующего элемента с одной петлей. Фрактальная размер-
ность D
в
= ln 6 / ln 3 = 1,63 ...
Кривые Мандельброта – Гивена обладают многими интересными геометрическими свойствами, ко-
торые не находят отражения в фрактальной размерности кривой как целого. Действительно, такие под-
множества, как остов, односвязные связи и другие, также являются фрактальными множествами со
своими собственными фрактальными размерностями. Многие физические процессы естественным об-
разом выбирают те подмножества структур, на которых они происходят, и поэтому при рассмотрении
таких процессов необходимо использовать много фрактальных размерностей.
Существует еще одно построение, порождающее кривую с петлями всех размеров. Это салфетка
Серпинского, изображенная на
рис. 1.15. При каждом применении образующего элемента треугольник, рассматриваемый вместе с
внутренними точками, заменяется N = 3 треугольниками, уменьшенными с коэффициентом r = 1/2, по-
этому из соотношения (1.10) следует, что размерность подобия в этом случае равна D = ln 3 / ln 2 = 1,58
... . С салфеткой Серпинского тесно связана другая кривая – так называемый ковер Серпинского. Он
изображен на рис. 1.16. Бесконечно много поколений предфракталов порождают фрактальную кривую.
«Толстые» (черные) участки предфракталов при переходе к предельной фрактальной кривой исчезают,
а полный периметр дыр в ковре Серпинского становится бесконечным.
Рис. 1.15 Построение треугольной салфетки Серпинского.
Затравка-треугольник со всеми внутренними точками. Образующий
элемент исключает из затравки центральный треугольник.
Справа: четвертое поколение предфракталов; фрактальная кривая

Страницы