Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

почему свободная энергия имеет скейлинговую форму и позволяет вычислять критические показатели.
Разумеется, и степенная функция, и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотно-
шению, не являются фрактальными кривыми. Однако масштабно-инвариантные фракталы облада-
ют изящной скейлинговой симметрией, и большинство рассматриваемых Мандельбротом фракта-
лов в том или ином смысле масштабно-инвариантны. Мандельброт отмечает, что масштабно-
инвариантные фракталы могут использоваться в качестве приближения при описании природы –
аналогично тому, как ранее использовались при описании природных тел прямые, плоскости и дру-
гие гладкие кривые и поверхности.
1.8 Функция Вейерштрасса – Мандельброта
В качестве примера масштабно-инвариантной фрактальной кривой рассмотрим фрактальную функ-
цию Вейерштрасса – Мандельброта W(t), определяемую соотношением
()
∑
∞
−∞=
−
ϕ
−
=
n
nD
i
tib
b
ee
tW
n
n
)2(
1
. (1.14)
Следует заметить, что W(t) зависит от b тривиальным образом, так как только параметр b определя-
ет, какая часть кривой видна, когда аргумент t изменяется в заданном интервале. Параметр D должен
принимать значения в диапазоне 1 < D < 2, ϕ
N
– произвольная фаза (каждый выбор фазы ϕ
N
соответст-
вует другой функции W(t)). Функция Мандельброта – Вейерштрасса непрерывна, но не дифференци-
руема ни в одной точке. Простая разновидность этой функции получается, если положить ϕ
N
= 0. Коси-
нусной фрактальной функцией Вейерштрасса – Мандельброта называется действительная часть функ-
ции W(t):
()
∑
+∞
−∞=
−
−
==
n
nD
n
b
tb
tWtC
)2(
)cos1(
Re)(
. (1.15)
Принято считать, что эта функция фрактальна с размерностью D. Известно, что она действительно
имеет размерность D, если под этим термином понимать клеточную размерность, но, по-видимому, не
размерность Хаусдорфа – Безиковича. Фрактальная размерность D(W
b
) функции Вейерштрасса-
Мандельброта заключена в пределах
D – (B/b) [D(W
b
)] D.
Входящая в это неравенство постоянная В достаточно велика для того, чтобы оно выполнялось и
при больших b. Были вычислены значения функции Вейерштрасса – Мандельброта при нескольких зна-
чениях параметров в интервале «времени» 0 ≤ t ≤ 1 (рис. 1.17). При малых значениях D функция по су-
ществу гладкая, но когда D возрастает до 2, начинает сильно флуктуировать и напоминает шум в элек-
тронных цепях. Этот шум накладывается на общий тренд к возрастанию. Функция
С(t) – однородная и удовлетворяет соотношению однородности
C(bt) = b
2 – D
C(t). (1.16)
Следовательно, если мы знаем функцию C(t) на некотором интервале значений t, то тем самым она
известна при любых t. В качестве примера сравним функцию C(t) при b = 1,5 и D = 1,8 (рис. 1.18, а) с
той

Страницы