Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В этих условиях разработка новых сетевых технологий и повышение эффективности работы совре-
менных телекоммуникационных систем требуют создания математических моделей, наиболее полно
отражающих отмеченные выше свойства сетевых процессов.
2 ФРАКТАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
При исследовании различных объектов природного происхождения уже длительное время предметом
пристального внимания являются характерные для этих объектов определенные уровни регулярно-
сти и фрагментации. Эти свойства проявляются, например в том, что профиль горы имеет сходство
с контурами образующих ее холмов, контуры берегов рек и морей – с отдельными составляющими
береговую линию фрагментами, профиль дерева имеет сходство со структурой ветвей и т.д. Для
анализа геометрических свойств рассматриваемых структур были введены математические объекты
– фракталы. С формальной точки зрения фракталы это объекты, которые обнаруживают некоторую
форму самоподобия: части целого могут характеризовать все целое путем масштабирования своей
структуры. Связь между масштабируемостью и фрактальностью обнаруживается не только для
геометрических объектов, но и в различных физических явлениях, при химических превращениях, а
также во многих других наблюдаемых объектах, в том числе и в случайных процессах. Данные во-
просы достаточно подробно рассматривались в гл. 1.
Подчеркнем еще раз, что геометрические факторы и характеризующие их некоторые параметры,
например размерность меры, имеют важное значение при описании как природных объектов, так и объ-
ектов искусственного происхождения, полученных в результате интеллектуальной деятельности чело-
века. Оказывается, при более детальном изучении макро(микро)поведения систем необходимы нетра-
диционные подходы, выходящие за рамки евклидовой геометрии [5 – 7]. Предметом исследования ста-
новятся геометрические объекты с дробной размерностью, занимающие промежуточное положение ме-
жду точкой и кривой, кривой и поверхностью и т.д. Круг новых, идей, связанных с изучением необы-
чайных, с точки зрения общепринятых представлений, физических или технических объектов, офор-
мился в специальное научное направление – фрактальную геометрию.
Для их описания, формирования результатов общего характера необходимо подобрать достаточно
универсальную математическую конструкцию. Рассматриваемые ниже канторовские множества явля-
ются именно теми математическими моделями, позволяющими проиллюстрироватъ особенности пове-
дения фракталов. Образующим элементом для построения одного из вариантов канторовских множеств
служит отрезок единичной длины. Разделим этот отрезок на три равные части (ϕ = 1/3). Отбрасываем
открытую среднюю часть, оставляя слева и справа от нее два отрезка длины 1/3. Применим эту проце-
дуру к оставшимся отрезкам, получаем четыре отрезка длины (1/3)
2
. Продолжая далее эту процедуру
разбиения на отрезки, приходим для n-го этапа разбиения к отрезкам длины δ
i
= (1/3)
n
,
Ni ,1=
общим
числом N = 2
n
. Мера определяется при L
0
= 1 в соответствии с выражением вида
(
)
(
)
B
n
n
n
NL
−β
β
∞→
β
→δ
β
δ==δδ= 3/12limlim
0
.
Эта мера не расходится или не стремится к нулю, если β = В. Указанному условию соответствует 2
n
(1 /
3)
nβ
= 1 или β = ln 2 / ln (1 / ξ) = ln 2 / ln 3. Таким образом, канторовское множество является фракталом,
его размерность имеет дробную величину. Заметим, что, во-первых, топологическая размерность канто-
ровского множества равна нулю (мера неплотного множества точек, покрытых элементарными отрез-
ками, равна нулю), во-вторых, при ξ = 1/2 (β = 1) множество перестает быть фрактальным. Нетрудно
дать геометрическое истолкование эволюции
канторовского множества. В процессе разбиения исходного отрезка часть состояний (отрезков) невоз-
вратно теряется. На n-м этапе разбиения отношение оставшихся состояний 2
n
к общему количеству со-
стояний 3
n
в дважды логарифмическом масштабе точно равняется размерности канторовского множест-
ва β. Обобщим полученные результаты на случай разбиения исходного отрезка длины t. Имеем после n-
го этапа разбиения число оставшихся отрезков 2
n
, длина каждого из которых δ
i
= (1 / 3)
n
t, Ni ,1= . Мера
канторовского множества равна

Страницы