Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
B
n
n
n
tNL
−ββ
β
∞→
β
→δ
β
δ==δδ= 3/12limlim
0
.
Так как 2
n
(1/3)
nβ
= 1, получаем при β = B
L
β
= L
0
= t
β
.
Приведенное разбиение отрезка не является единственно возможным. Так, при разбиении исходно-
го (единичного) отрезка на k более мелких отрезков, сумма длин которых kξ < 1 (для предыдущего слу-
чая 2ξ < 1), фрактальная размерность канторовского множества оказывается равной β = ln k / ln (1 / ξ). К
другому варианту этого множества можно прийти при разбиении исходного отрезка на µ неодинаковых
отрезков, но так, чтобы выполнялось неравенство
∑
µ
=
<ξ
1
1
i
i
. Можно построить канторовское множество и
для случайных значений ξ
i
при выполнении
1<ξµ
, где среднее значение
∑
µ
=
ξ
µ
=ξ
1
1
i
i
.
Весьма полезным оказывается использование идей фрактальной геометрии канторовских множеств
для понимания особенностей поведения процессов с так называемой неполной памятью. В теории ли-
нейных систем известно соотношение, связывающее выходной процесс системы с входным (интеграл
свертки)
() ( ) ()
τττ−=
∫
dfthtu
t
0
, (2.1)
где импульсная переходная функция h(t) определяет полную память системы, т.е. на состояние u(t) в
момент времени t оказывают влияние все предыдущие значения f
(τ), 0 < τ < t.
К другому крайнему случаю можно прийти, если в качестве импульсной переходной функции ис-
пользовать дельта-функцию. Подставляя в формулу (2.1) выражение h(t – τ) = δ(t – τ), на основании
фильтрующих свойств этой функции получаем u(t) = f
(t), что говорит об отсутствии памяти, так как на
протекание процесса u(t) не оказывают влияние предыдущие значения f
(τ), 0 < τ < t. Оказывается, су-
ществуют системы с неполной памятью. Процессы в них занимают промежуточное положение. В ходе
функционирования этих систем при
формировании выходного процесса участвуют не все состояния системы: система как бы невозвратно
теряет часть своих состояний на некоторых интервалах времени. Поэтому вполне логичным является
использование для описания функционирования таких систем канторовского множества.
Выберем импульсную переходную функцию вида
()
>τ<τ
∈τ
=τ
,,0
);,0(
,0
,/1
t
tt
h
которая пронормирована на единицу:
()
1
0
=ττ
∫
dh
t
. Процессу u(t) на выходе системы с полной памятью со-
ответствует процедура усреднения на интервале (0, t) временной оси
() ()
∫
ττ=
t
df
t
tu
0
1
. (2.2)
Исходным для построения канторовского множества служит упомянутый временной интервал ве-
личины t (рис. 2.1). На каждом этапе разбиения производится перенормировка на единицу оставшихся
состояний интеграла. Как и для предыдущего построения, выбираем

Страницы