Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()
(
)
(
)
() ()
ξ+τ<τ
ξ+∈τ
=ξ+
.,
;,
,0
,1
),(1
m
nn
m
n
m
nn
m
n
m
nn
m
n
m
tt
ttt
ttt
После предельного перехода n → ∞ (операции свертки интеграла на канторовское множество), ис-
пользуя методику работы [8], получаем одну из форм записи дробного интеграла.
()
()
() ()
∫
τττ−
β
=
−β
β−
ξ
t
dft
t
Btu
0
1
Г
. (2.4)
Запись вида (1.5) справедлива, если f
(t) является постоянной величиной или стационарным случай-
ным процессом. В последнем случае с его помощью определяют статистики первого и второго порядка
фрактального стационарного случайного процесса. Запишем соотношение (2.3) в форме интеграла
свертки
() ( ) ()
∫
τττ−=
t
dfthtu
0
, (2.5)
где
h(τ) = K
0
τ
β – 1
, (2.6)
импульсная переходная функция, удовлетворяющая условию нормировки
()
∫
=ττ
1
0
,1dh K
0
= B
ϕ
Г
–1
(β)t
–β
.
Иная форма записи интеграла (2.3) при сохранении его значения, равного значению интеграла (2.2),
а также другой вид импульсной переходной функции является следствием эволюции состояний систе-
мы не на всем непрерывном интервале (0, t), а на неплотном канторовском множестве точек (на осталь-
ных «потерянных» участках этого интервала у системы отсутствует память). Для этого случая функ-
ционирования системы с неполной памятью интеграл от f
(t) на непрерывном интервале (0, t) заменяется
на интеграл от этой функции, умноженной на бесконечную последовательность δ-функций с координа-
тами в точках канторовского множества и интенсивностями, равными в сумме единице. Хотя топологи-
ческая мера этого интеграла в силу свойств канторовского множества равна нулю, значение его теперь
определяется суммой бесконечно малых скачков этой функции в точках канторовского множества.
Рассмотрим соотношение вида t
β
u(t), где u(t) определяется выражением (2.3). Переходя обратно к
допредельному случаю (параметр разбиения n – конечная величина), а также учитывая, что согласно
(1.2) мера канторовского множества t
β
должна заменяться на величину
(2ξ)
n
t – сумму длин оставшихся на n-м этапе разбиения подынтервалов, приходим к выражению
()
() ()
()
[]
τξ+<τ≤τ
∫
dtttf
nn
m
n
m
t
1
0
,
которому соответствует исходный интеграл другого вида
() ()
∫
ττ=ϕ
t
dft
0
. (2.7)
Таким образом, умножению исходного интеграла (2.2) на t соответствует умножение дробного ин-
теграла (2.3) на t
β
:
() ()
∫
τττ−ϕ
′
−β
t
dftKt
0
1
1
)( , (2.8)
где K
1
= B
ϕ
Г
–1
(β).

Страницы