Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В общем случае коэффициент подобия
R(N) = 1/N
1/β
, (2.10)
где β – размерность подобия, всегда равная целому числу, совпадающему с топологической размерно-
стью евклидова пространства.
Рассмотрим канторовское множество на n-м этапе разбиения единичного отрезка. Масштабный
множитель при ξ = 1/3 равен
r
L
(N) = (1/3)
n
. (2.11)
Число «покрывающих» исходный отрезок частей N = 2
n
. Подставляя полученное из этого соотно-
шения выражение n = ln N / ln 2 в (2.11) и далее приравнивая его коэффициенту подобия общего вида
(2.10), получаем уравнение
(3
ln N / ln 2
)
–1
= N
–1/β
,
откуда размерность подобия канторовского множества
β = –ln N / ln r
L
(N) = ln 2 / ln 3.
Можно говорить, что исходный отрезок при канторовском разбиении на n-м этапе в некотором
смысле самоподобен его части при коэффициенте подобия
r
L
(N) = 1 / N
ln 2 / ln 3
.
Заметим также, что размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью канторовского
множества.
Для получения результатов более общего характера представим поведение частей исходного отрез-
ка в виде огибающей некоторой функции U(t) от аргумента t. Так, при разбиении на части исходного
отрезка в евклидовом пространстве график огибающей имеет вид, представленный на рис. 2.3, а. Отку-
да для r
L
-й части огибающей выполняется условие
() ()
tU
N
trU
L
1
=
. (2.12)
При разбиении исходного отрезка на канторовское множество график огибающей представлен на
рис. 2.3, б, n = 2.
а) б)
Рис. 2.3 График огибающей функции U(t):
а – в евклидовом пространстве; б – на канторовском множестве
Соотношение (2.12) при U(t) = 1 преобразуется в тождество на этапе разбиения n = 2 (N = 2
2
, r
L
=
1/3
2
), если выполняется на основании (2.10) условие (1/3
2
) = (1/2)
1/β
. Отсюда β = ln 2 / ln 3.
U(t)
U(t)
U(r
1
t)
U(r
1
t)
t t
N частей N частей

Страницы