Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где единичная функция
() ()
(
)
(
)
() ()
ξ+τ<τ
ξ+∈τ
=ξ+
.,
;,
,0
,1
),(1
m
nn
m
n
m
nn
m
n
m
nn
m
n
m
tt
ttt
ttt
После предельного перехода n → ∞ (операции свертки интеграла на канторовское множество), используя методику ра-
боты [8], получаем одну из форм записи дробного интеграла.
()
()
() ()
∫
τττ−
β
=
−β
β−
ξ
t
dft
t
Btu
0
1
Г
. (2.4)
Запись вида (1.5) справедлива, если f
(t) является постоянной величиной или стационарным случайным процессом. В
последнем случае с его помощью определяют статистики первого и второго порядка фрактального стационарного случайно-
го процесса. Запишем соотношение (2.3) в форме интеграла свертки
() ( ) ()
∫
τττ−=
t
dfthtu
0
, (2.5)
где
h(τ) = K
0
τ
β – 1
, (2.6)
импульсная переходная функция, удовлетворяющая условию нормировки
()
∫
=ττ
1
0
,1dh
K
0
= B
ϕ
Г
–1
(β)t
–β
.
Иная форма записи интеграла (2.3) при сохранении его значения, равного значению интеграла (2.2), а также другой вид
импульсной переходной функции является следствием эволюции состояний системы не на всем непрерывном интервале (0,
t), а на неплотном канторовском множестве точек (на остальных «потерянных» участках этого интервала у системы отсутст-
вует память). Для этого случая функционирования системы с неполной памятью интеграл от
f
(t) на непрерывном интервале
(0,
t) заменяется на интеграл от этой функции, умноженной на бесконечную последовательность δ-функций с координатами
в точках канторовского множества и интенсивностями, равными в сумме единице. Хотя топологическая мера этого интегра-
ла в силу свойств канторовского множества равна нулю, значение его теперь определяется суммой бесконечно малых скач-
ков этой функции в точках канторовского множества.
Рассмотрим соотношение вида
t
β
u(t), где u(t) определяется выражением (2.3). Переходя обратно к допредельному слу-
чаю (параметр разбиения
n – конечная величина), а также учитывая, что согласно (1.2) мера канторовского множества t
β
должна заменяться на величину (2
ξ)
n
t – сумму длин оставшихся на n-м этапе разбиения подынтервалов, приходим к выраже-
нию
()
() ()
()
[]
τξ+<τ≤τ
∫
dtttf
nn
m
n
m
t
1
0
,
которому соответствует исходный интеграл другого вида
() ()
∫
ττ=ϕ
t
dft
0
. (2.7)
Таким образом, умножению исходного интеграла (2.2) на t соответствует умножение дробного интеграла (2.3) на t
β
:
() ()
∫
τττ−ϕ
′
−β
t
dftKt
0
1
1
)( , (2.8)
где K
1
= B
ϕ
Г
–1
(β).
При этом значение вновь полученного дробного интеграла (2.8) на интервале (0,
t) оказывается меньше значения инте-
грала (2.7). Это является следствием потери части состояний и отсутствия для ее компенсации процедуры перенормировки.
Очевидно, для достижения значения интеграла (2.7) дробный интеграл (2.8) должен интегрироваться в более широких вре-
менных пределах. Таким образом, процессы при дробном интегрировании становятся как бы протяженными. А скорости их
нарастания описываются уравнениями с дробными производными. Имеются многочисленные примеры использования моде-
лей фрактальных процессов для описания ряда физических явлений, например, сверхмедленных процессов переноса [9], вы-
теснения жидкостей в пористых средах [10], теплообмена [11] и т.д.
В качестве примера рассмотрим упрощенную модель передачи информации регулярными пакетными сериями (неслу-
чайной последовательностью пакетов с постоянной интенсивностью
λ) через систему (канал связи), обладающую фракталь-
ными свойствами. Исходным для построения канторовского множества является прямоугольник с площадью, равной разме-
ру файла
Х = λt – числу посланных за время t пакетов (рис. 2.2). Ему соответствует результат интегрирования (2.7) при f
(τ) =
λ.

Страницы